Véase nuestra nota al fin del tomo. (N. del T.)

Tomemos a arbitrio sobre el contorno de la elipse un punto M situado a la distancia polar v que expresa el ángulo formado con el eje de este nombre por la normal tirada a este punto. Sean a esta misma distancia polar ds el elemento infinitamente pequeño del arco, y g el radio del círculo osculador a la elipse en M, tendremos

g = a (1-e2)/(1-e2 cos2 v)3/2

Este círculo tiene su centro sobre la normal del punto M. Por la condición de osculación, su circunferencia coincide en este punto con el contorno de la elipse sobre toda la extensión del elemento ds, y dos radios tirados desde su centro a los extremos de este elemento están dirigidos según normales a esta curva. El ángulo que comprenden representa, pues, la variación infinitamente pequeña que experimenta el ángulo v pasando de uno a otro. Expresemos en general el valor local de este ángulo por el arco que subtendería en el centro de un círculo descripto con un radio igual a la unidad de longitud. El pequeño ángulo subtendido en el centro del círculo osculador por el elemento ds será entonces la diferencial dv del ángulo v expresado de esta manera. Así que el pequeño arco del mismo círculo, que está comprendido entre sus ramas y tiene por longitud a g dv, deberá ser igual al elemento ds de la elipse. Esta identidad, que no era sino aproximada cuando la hemos aplicado a ángulos de una amplitud sensible tal como 1º, llega a hacerse rigorosa en las amplitudes infinitamente pequeñas. Sustituyendo, pues, por g su expresión analítica general, la condición de esta coincidencia elemental será

ds = a (1-e2 cos2 v)3/2

En la elipse de los meridianos terrestres que queremos considerar particularmente, e2 es una fracción muy limitada; se podrá, pues, por la fórmula del binomio desarrollar el radical (1-e2 cos2 v)3/I, lo cual dará

ds = a(1-e2) (1 + 3/2 e2 cos2 v + 15/8 e4 cos4 v + 35/16 e6 cos6 v...)dv.

Ahora bien: en el tratado del Cálculo diferencial e integral de Lacroix, p. 90 ole la Introducción, se encuentran las siguientes igualdades establecidas por Eulero:

2 cos2 v = cos 2 v + 1

8 cos4 v = cos 4 v + 4 cos 2 v + 3

32 cos6 v = cos 6 v + 6 cos 4 v + 15 cos 2 v + 10.

Estas transformaciones pueden extenderse indefinidamente según una ley general de sus coeficientes numéricos, que se menciona en la obra citada. Aquí las limitamos a la 6.ª potencia de cos2 v a que hemos circunscrito nuestro desarrollo; pero es esencial advertir que, por lejos que se las lleve, todos los términos permanecen constantemente positivos y no contienen jamás sino múltiplos pares del ángulo v, cuando la potencia de cos v a quien reemplazan es igualmente par, lo que sucederá siempre en la expresión de ds, por mucho que se la suponga prolongada.

Sustituyendo estas expresiones de las potencias de cos v, el segundo miembro no contendrá más que términos compuestos de este género de múltiplos. Y si se hace para abreviar

A = S + 3/4 e2 + 45/64 e4 + 175/256 e6...

B = 3/4 e2 + 15/16 e4 + 525/512 e6...

C = 15/64 e4 + 105/256 e6...

D = 35/512 e6...

se hallará aquí

ds = a (1-e2) (A + B cos 2 v + C cps 4 v + D cos 6v...)dv

Cada término de la serie así transformada puede inmediatamente integrarse; y haciendo empezar todas las integrales parciales de modo que el ángulo total S sea nulo cuando v lo es, su longitud, desde el polo hasta la distancia polar v, aparece ser evidentemente

s = a (1-e2) (Av + I/2 B sen 2 v + I/4 C sen 4 v + I/6 D sen 6 v2...)

La letra v que entra fuera de los signos trigonométricos en el primer término representa el ángulo v expresado en partes del radio tomado por unidad de longitud. Esto le convierte en una relación abstracta, como lo son también los senos que entran en los términos siguientes; y de este modo resulta consumada la homogeneidad de los dos miembros de la ecuación. Por ejemplo, si este ángulo debiese ser recto, el valor de v sería I/2 p, siendo p el número 3,1415926 que expresa la semicircunferencia cuyo radio es 1. Si su valor, expresado en segundos de grado, fuera v´´, sería preciso hacer v igual a v´´/R´´.

En virtud de la observación hecha ha poco sobre la forma de los cosenos que componen la serie antes de la integración, todos los términos de la expresión de s que siguen al primero Av no contendrán más que senos de múltiplos pares del ángulo v. Así, pues, todos ellos se desvanecerán, si se supone a este ángulo igual a 90º, en cuyo caso el ángulo total s llegaría a ser un cuadrante de la elipse que designaremos por Q. Entonces la letra v debe sustituirse con p fuera de los signos trigonométricos, como acabamos de ver. Tendráse, pues, por la ecuación así reducida

Q = I/2 p a A (1-e2).

Nuestra expresión general de s nos dará fácilmente la longitud del segmento de la elipse que estuviese comprendido entre dos puntos M1, M2, cuyas respectivas distancias polares fueran v1, v2. Porque calculando las longitudes de los arcos s1, s2, comprendidos entre el polo y cada uno de estos puntos, tendremos evidentemente

s1 = a (1-e2 [Av1 + I/2 B sen 2 v1 + I/4 C sen 4 v1 + I/6 D sen 6 v1...]

s2 = a (1-e2 [Av2 + I/2 B sen 2 v2 + I/4 C sen 4 v2 + I/6 D sen 6 v2...]

Suponiendo a v2 mayor que v1, s2-s1 será la longitud del segmento buscado. Se simplificará su expresión por el uso de la rotación general

sen p-sen q = 2 sen I/2 (p-q) cos I/2 (p + q)

y entonces se obtiene

s2-s1 = a (1-e2) [A (v2-v1) + B sen (v2-v1) cos (v2 + v1) + I/2 I/2 C sen 2 (v2-v1) cos 2 (v2 + v1) + I/3 D sen 3 (v2-v1) cos 3 (v2 + v1)]

Delambre, en su obra titulada Base del sistema métrico, se ha servido de esta fórmula, particularmente en el tomo II, p. 677 y en el III, p. 134, para determinar los elementos de la elipse terrestre por una especie de regla de falsa posición, suponiendo a dichos elementos muy aproximadamente conocidos ya, y buscando las pequeñas variaciones a que es menester someterlos para satisfacer del mejor modo posible a las medidas de segmentos de meridianos que pueda creerse se han obtenido con más precisión. Si pudieran emplearse estas medidas como datos rigorosos, se realizaría muy en derechura esta idea echando mano del valor ya aproximadamente conocido de e2 para calcular los términos de s2-s1 que contienen a las potencias superiores de esta cantidad y no dejando de incógnita más que a la primera sola. Dando entonces dos arcos medidos dos valores de s2-s1, se obtendrían los dos elementos a, e2 de la elipse por la condición de reproducir con exactitud los suyos. Empero hemos reconocido con harta evidencia que los errores de las observaciones y las irregularidades locales en la forma del esferoide terrestre traen consigo en las medidas parciales de meridiano discordancias inevitables que privan de toda posibilidad de deducir de aquí valores constantes para una cantidad tan pequeña como la elipticidad de los meridianos terrestres. El método aproximado de que hemos hecho uso nos parece por esta razón que basta para comparar semejantes datos y obtener los resultados generales más verosímiles que pueden dar de sí. (N. del A.)

La dificultad de establecer con rigorosa exactitud la proporción entre el metro, unidad fija, invariable y tomada en la naturaleza, y las medidas de longitud adoptadas en los diferentes pueblos, las cuales, no refiriéndose a un tipo de esta especie, adolecen por necesidad de cierta indeterminación, es la causa de que se conozcan diversas valuaciones de las segundas por el primero; y es del mayor interés saber cuál de ellas es la que merece mayor confianza, así por su origen, como por la precisión de los elementos en que está fundada.

En esta versión española, siempre que se nos ha ocurrido convertir los metros en varas castellanas, nos hemos valido de la relación de 1 a 1,196 que corre en las obras más acreditadas como expresión del valor relativo de los unos respecto de las otras; es decir, que a cada metro le hemos supuesto equivalente a 1 196/1000 de vara. Esta relación es la dada por el señor Vallejo en su Tratado elemental de matemáticas, tal vez con referencia a los señores D. Agustín Pedrayes y D. Gabriel Ciscar, que fueron los que asistieron a la comisión indicada por el autor en nombre de la España.

Debemos advertir, sin embargo, que el célebre Prony en sus cálculos de las principales medidas lineales extranjeras en medidas francesas, fija sólo en 848 milímetros la vara de Castilla; lo cual da 1,180 nada más para la relación susodicha, suponiendo así equivalente cada metro a 1,180 varas castellanas. (N. del T.)

Todo esto prueba de una manera incontestable que el sistema métrico francés, considerando detenidamente las cosas, está muy lejos de reunir, la extrema perfección que se le ha atribuido. Prescindiendo de la inexactitud de la valuación primitiva de la unidad fundamental y que, como puede observarse, es una cantidad apreciable por las observaciones, la irregularidad de la figura de la Tierra, a que es por consiguiente la desigualdad de los meridianos, hace imposible toda determinación rigorosa del metro, o sea de la unidad fundamental, pudiendo establecerse sólo su valor medio, por aproximaciones más o menos exactas. No es improbable que los progresos de las ciencias descubran en lo sucesivo un dato más cierto y fijo que la distancia del ecuador al polo, y que las naciones se decidan a adoptar un sistema fundado sobre esta base con preferencia al sistema francés. (N. del T.)

El Chimborazo no es la montaña más elevada del globo, toda vez que su altura no pasa de 6530 metros (7810 varas); mientras que la del Nevado de Sorata, por ejemplo, situada también en América, tiene una elevación 7696 metros (9204 varas), y a este tenor se cuentan algunos otros. El Chimborazo no ocupa sino el 7.º lugar en el orden de las montañas más altas de la Tierra. La mayor de todas es uno de los picos del Himalaya (Asia), cuya altura es de 7821 metros o sean 9354 varas castellanas. No obstante, también sería insensible esta elevación respecto a la magnitud del globo terrestre. (N. del T.)

Para que una carta geográfica fuese enteramente exacta, es decir, para que representase con la mayor fidelidad sobre una superficie plana la situación respectiva de los diversos puntos de la Tierra, sería menester: 1.º que todos los lugares se hallasen en justa posición relativamente al ecuador, a los meridianos y a los paralelos; 2.º que las extensiones de los diferentes países tuviera entre sí la misma proporción que sobre la superficie terrestre, y 3.º que los diferentes lugares se figurasen respectivamente a las propias distancias unos de otros y en igual situación que sobre la misma Tierra. Siendo redonda la figura de esta última sería imposible satisfacer completamente a estas condiciones con la representación sobre un plano de las localidades terrestres por medio de las proyecciones, que es lo que constituye las cartas. Se emplean para esto, como indica el autor, diferentes sistemas de aquéllas; y se echa mano del que llena mejor el objeto que uno se propone con la construcción de las últimas.

Tres son las clases de proyecciones usadas: las estereográficas o perspectivas, las ortográficas y las por desarrollo. Las dos primeras son, propiamente hablando naturales, en el sentido de que dan sobre un plano representaciones de la superficie terrestre contemplada desde un solo punto; la tercera es meramente artificial, y figura a la Tierra, como si se viera a sus diferentes partes transportándose sucesivamente sobre ellas.

Concíbase un plano que corte a la Tierra en una posición determinada, y luego desde cada uno de los puntos de la superficie curva de esta última imagínense perpendiculares bajadas sobre este plano; los pies de estas perpendiculares representarán los puntos correspondientes de la superficie terrestre, y el plano la carta misma que se trata de construir. Nada se opone a que en vez de rectas perpendiculares se empleen proyecciones que concurran todas en un mismo punto; entonces podrá considerarse a este como el punto de vista de un cuadro representado por el plano de proyección, y las intersecciones de las rectas con este plano, o sea el plano del cuadro serán las perspectivas de los respectivos puntos de la Tierra, su representación gráfica de esta especie sobre la carta que será aquí el cuadro mismo. Este último sistema de proyecciones es el de las estereográficas; el primero es el de las ortográficas, y en realidad es idéntico con aquél, puesto que en él no se hace otra cosa que suponer situado al ojo del observador, o al punto de vista, a una distancia infinita y en una dirección perpendicular al plano de proyección, en cuyo caso las rectas proyectantes se convierten en perpendiculares a este plano tiradas por los diferentes puntos terrestres.

Para proyectar estereográficamente un hemisferio, en todo o en parte, se supone generalmente que el ojo del observador, se halla situado en uno de los puntos de la superficie terrestre, y que el plano de proyección es el de un círculo máximo cuyo polo es este punto. Pueden ofrecerse tres casos diferentes: o el ojo está en uno de los polos de la Tierra, y la proyección tiene lugar sobre el plano del ecuador; o lo está entro el ecuador y el polo, y la proyección se hace en tal caso sobre el plano del horizonte; o por último, situado el ojo sobre el ecuador mismo, la proyección se verifica sobre el plano de un meridiano. En el primer caso la proyección se llama polar, en el segundo horizontal, y en el tercero proyección sobre el meridiano. También puede suponerse colocado al ojo en el centro de la Tierra; y entonces resulta otra proyección dicha central, que no es usada.

En la polar, la proyección del polo es el centro mismo del ecuador, las de los paralelos son círculos concéntricos al mismo; las de los meridianos líneas rectas representadas por los diámetros de aquel círculo. La construcción de las cartas es pues facilísima con este género de proyección. En ella los meridianos y los paralelos se cortan a ángulos rectos como sobre la esfera, pero los grados iguales de los primeros se representan por partes de líneas rectas desiguales decrecientes del ecuador al polo, lo que disminuye la extensión de los países marchando en este sentido.

En la proyección sobre un meridiano, se supone siempre al ojo en el centro del hemisferio opuesto a aquel que se quiere representar; y como además se halla sobre el ecuador mismo, la proyección de este círculo es una recta perpendicular al eje del globo. Tampoco ofrece dificultad el trazado de las cartas construidas bajo este principio, el cual tiene la ventaja de representar de un modo mucho más exacto que el anterior las distancias de los lugares al ecuador, y al primer meridiano; pero hace desiguales a los grados del primero, estrechando así las partes situadas hacia el eje.

En la proyección horizontal, sirve de cuadro el horizonte racional, el punto de vista es el polo de este horizonte, y al meridiano que pasa por este polo, y que se llama el meridiano principal le figura una línea recta sobre la cual se halla el polo del hemisferio representado. Las proyecciones de todos los meridianos serán círculos que pasarán por los polos, y tendrán sus centros sobre la perpendicular levantada en el medio de la línea que los une. Esta construcción es también muy sencilla.

Las cartas de proyecciones por desarrollo se fundan en la propiedad de algunas superficies curvas de ser desarrollables en un plano. La esfera no se halla en este caso; pero sí el cono y el cilindro recto; y en su consecuencia para representar la superficie terrestre según este sistema, se asimila cada zona esférica en una corta extensión a una superficie de aquella clase que pueda aproximadamente confundirse con ella. Los desarrollos son pues cónicos o cilíndricos según los casos, no pudiendo entrar aquí en más pormenores. (N. del T.)

Las observaciones enseñan que los planetas son cuerpos de forma redonda como la Tierra, y muy poco más o menos esféricos como ella. Si por el ojo del observador y el centro del astro se tira un plano, este plano cortará a la superficie del mismo según una curva reentrante ADBD´ fig. 57; y si desde el punto O en que está situado el observador, se tiran a la curva ADBD´ dos tangentes que figurarán dos radios visuales tirados a los puntos opuestos del disco, el ángulo DOD´ será el diámetro aparente del astro.

Si el planeta es una esfera o si forma una superficie de revolución en derredor del eje AO, el ángulo visual DOD´ será el mismo en cualquiera sentido en que se le observe, y todos los diámetros aparentes observados sobre diferentes diámetros del disco serán iguales entre sí. Por el contrario, si estos diámetros son desiguales, se estará seguro de que la línea de tangencia del cono formado por los radios visuales no es circular, lo que indicará un achatamiento. Si se supone circular a la sección ADBD´, el radio visual OD será perpendicular el extremo del radio CD. Sea éste =R, la distancia CO = D, y el ángulo visual DOC, 6 el semidiámetro aparente = k; el triángulo COD, rectángulo en D, dará patentemente

sen k = R/D

Siendo invariables las dimensiones del astro, R es constante, y los senos de dos diámetros aparentes de un mismo astro son recíprocos a su distancia; por consiguiente el ángulo visual disminuye cuando el astro se aleja, y crece cuando se acerca.

Si el objeto es pequeño o está muy distante, de modo que el ángulo visual k sea muy pequeño, sen k será también una cantidad muy reducida, y sin error sensible se podrá suponerla proporcional al ángulo k, de donde resulta este teorema de óptica:

Los ángulos visuales bajo que se ve a un mismo objeto muy distante son recíprocos a su distancia, o lo que viene a ser igual, las distancias de un mismo objeto visto bajo ángulos pequeños son recíprocas a sus diámetros aparentes. (N. del A.)

Véase la nota al fin del tomo. (N. del T.)

He aquí la correspondencia de estos resultados en medidas españolas:

	Varas castellanas
Longitud del péndulo sideral de segundos sexagesimales	1,1821655
Longitud del péndulo sideral de segundos decimales	0,8824818

(N. del T.)

Sean en general L la latitud, l la longitud absoluta del péndulo decimal que hiciese 100000 oscilaciones en un día medio: se tendrá el valor de l en partes del metro por esta fórmula deducida de un gran número de observaciones

l = 0,7395776 + 0,004110. sen2 L.

El primer término es la longitud del péndulo en el ecuador. Y si en vez de sen2 L se sustituye su valor 1-cos 2 L/2, la fórmula se convertirá en

l = 0,7416326-0,002055. cos 2 L

y el primer término será la longitud del péndulo decimal medio a la latitud de 50 grados. (N. del A.)