Para demostrar esta relación, sea (fig. 60) D la distancia del astro al centro de la Tierra, distancia que supondremos constante durante el tiempo que el astro invierte en elevarse desde el horizonte hasta su mayor altura; sea R el radio terrestre, COZ la vertical, Z la distancia al zenit o el ángulo LOZ, y p el paralaje de altura o el ángulo OLC. Supuesto esto, en el triángulo LOC, los senos de los ángulos serán proporcionales a los lados opuestos, lo cual dará

Sen p = R. son Z/D.

Supongamos ahora al astro en el horizonte: siendo la distancia al zenit igual a 90º o a 100 grados decimales, se tiene sen Z = 1, y llamando II al valor que toma entonces, es decir, al paralaje horizontal, lo fórmula precedente da

sen II = R/D;

lo que habría podido encontrarse directamente en el triángulo L´OC, cuyo lado OL´ es horizontal y tangente a la Tierra en O. Como el seno de un ángulo es siempre menor que la unidad, el producto de R/D por sen Z, o el paralaje de altura será siempre menor que R/D, que es el paralaje horizontal. El paralaje horizontal es pues el mayor de todos. Si se elimina a D entre las dos ecuaciones precedentes, se obtiene

sen p = sen II. sen Z.

La gran distancia de los cuerpos celestes hace que II y p sean siempre ángulos muy pequeños, aun para la Luna cuyo paralaje horizontal no excede de lo sexagesimal. Ahora bien, ángulos tan pequeños, la relación de los arcos es con corta diferencia igual a la de los senos; así, sustituyendo p/II en sen p/sen II en la relación anterior, se tendrá

p = II sen Z,

es decir, que el paralaje del altura es igual al paralaje horizontal multiplicado por el seno de la distancia al zenit. En rigor, esta relación tiene lugar entre los senos de los paralajes; mas para juzgar cuanto se le aproxima la de los arcos, basta notar que el seno de 1º sexagesimal es igual 0,01745240, y su tangente a 0,01745507, tomado el radio por unidad. Ahora, como el arco es siempre menor que su tangente y mayor que su seno, está comprendido entre las dos expresiones anteriores, y por lo tanto se diferencia de uno cualquiera de estos dos valores en menos de lo que ellos discrepan entre sí; y el error que se comete en esta circunstancia, sustituyendo el arco al seno, es menor que 0,00000267, que, dividido por 0,01745240, hace cerca de 1/6586 del valor total del arco.

Por la expresión precedente de sen p se ve que el paralaje de un astro puede calcularse para todas las alturas cuando se conoce su distancia al Centro de la Tierra expresada en partes del radio terrestre, o la relación R/D; y recíprocamente, se puede calcular la distancia, cuando se conoce el paralaje por observación.

Conociendo el paralaje de altura por la fórmula anterior, si se llama Z´´ a la distancia verdadera al zenit, según se la observaría desde el centro de la tierra, se tiene

sen p = sen II sen Z, Z´´ = Z-p

Estas fórmulas suponen conocida a Z. En las tablas astronómicas que están construidas sobre los lugares verdaderos, es Z´´ la que se supone conocida; y se hace preciso deducir de aquí a Z, a fin de encontrar el lugar aparente. Para esto debe expresarse al paralaje p en función de Z´´; lo cual es fácil, porque, toda vez que Z = Z´´ + p, se tendrá eliminado a Z

sen p = sen II, sen (Z´´ + p) = sen II (sen Z´´ cos p + cos Z´´ sen p),

de donde se saca

tang p = sen II sen Z´´/1-sen II cos Z´´

Como el paralaje horizontal II es siempre un arco muy pequeño, esta expresión puede reducirse a una serie convergente ordenada según las potencias de sen II; para ello basta sólo efectuar la división indicada, y se tiene

tang p = sen II sen Z´´ + sen2 II. sen 2 Z´´/2 + &ª

pero estos dos primeros términos serán siempre suficientes.

Por lo demás, si quisiera obtenerse rigorosamente el valor de p, se podría fácilmente por medio de un ángulo auxiliar f, tal que se tuviese

cos f = símbolo sen II cos Z´´,

lo que dará

tang = sen II, sen Z´´/sen2 f

fórmula a la cual puede aplicarse el cálculo logarítmico. (N. del A.)

El cálculo que conduce a este resultado es muy sencillo. Consideremos el caso de la figura 61. Sea p el paralaje de altura para el observador situado en O, el cual es igual al ángulo OLC: sea del mismo modo p´ el ángulo O´LG, o el paralaje de altura para el observador situado en O´; y por último, sea II el paralaje horizontal del mismo astro, el cual será igual para ambos observadores en el caso de la Tierra esférica. Supuesto esto, si se llaman Z, Z´ las dos distancias al zenit observadas en O y O´, se tendrá por lo que precede,

p = II sen Z; p = II sen Z´;

lo cual da refiriéndose a la figura 61,

p + p = II (sen Z + sen Z´).

Ahora, p + p no es otra cosa que el ángulo OLO´ bajo el cual se vería desde el centro del astro a la cuerda del arco terrestre que une a los dos observadores, y siendo este ángulo el cuarto en el cuadrilátero COLO´, es fácil de calcular. En efecto, el ángulo en O es igual a 180-Z, el ángulo en O´ a 180º-Z´. Sea f el ángulo en el centro de la Tierra comprendido entre las verticales de los dos observadores, el cual es conocido por sus latitudes; debiendo la suma de los cuatro ángulos del cuadrilátero ser igual a cuatro ángulos rectos, se tendrá empleando la división sexagesimal del círculo

f + 180º-Z + 180º-Z´ + OLO´ = 360º;

por consiguiente

OLO´ = Z + Z´-f,

y una vez que este ángulo OLO´ es igual p + p´, se tendrá equiparando estos valores

II = Z + Z-f/sen Z + sen Z´

En el caso en que el astro estuviera del mismo lado del zenit con relación a ambos observadores, como en la fig. 62, el razonamiento sería enteramente análogo; sólo que el ángulo OLO´ no sería ya p´ + p, sino p´-p, o II (sen Z´-sen Z), siendo p´ el mayor de los dos paralajes. Tendríanse pues en el triángulo OKL,

Z + OLO + 180º-Z´ + f = 180º,

lo cual da

OLO´ = Z´-Z-f.

Todo se reduciría pues a hacer negativo a Z, así como a sen Z en el precedente valor de II. Esta fórmula en que todo es conocido dará el valor del paralaje horizontal del astro; y luego se tendrá la distancia por la expresión

sen II = R/D

que da

D = R/sen II

El ángulo OLO´ o Z + Z´-f puede también deducirse inmediatamente de las diferencias de declinación observadas entre el astro y una estrella fija, como se dice en el texto.

En el mismo párrafo se verá que se ha encontrado por este método el paralaje de Marte a 24´´, 6´s sexagesimales, tendráse pues para este planeta

sen II = 0,000119335 = 1/8372,74,

y por consiguiente,

D = R/sen II = R. 8372,74

es decir, que la distancia de Marte a la Tierra era entonces igual a 8372 radios terrestres y 74/100 de otro.

También hubiera podido calcularse el valor de D sin el auxilio de las tablas de los senos, porque siendo muy pequeño el ángulo II, se puede sustituirle a su seno sin error sensible; pero entonces es preciso para restablecer la homogeneidad convertir al radio, que se toma aquí por unidad, en partes de la misma especie que II, a saber, en segundos sexagesimales. Ahora bien, el valor del radio de este modo reducido es de 206264´´,8; y se tendrá pues así

D = R 206264´´,8/II

y en el caso presente

D = 3371,14 R.

(N. del A.)

Sea C /fig. 64) el centro de la Tierra y C´ el del astro. Llamemos siempre II al paralaje horizontal del astro, o al ángulo OC´C y D a su distancia CC´ al centro de la Tierra, y se tendrá por lo que antecede,

sen II = R/D.

2 II es el diámetro apa rente de la Tierra para un observador colocado en el astro; recíprocamente, el diámetro aparente del astro, visto desde la Tierra, no es otra cosa que el ángulo O´CO´´´, es decir, que el doble del paralaje horizontal de la Tierra, relativamente a este mismo observador. Sea pues R´ el radio del astro supuesto esférico, y a su diámetro aparente observado; se tendrá igualmente

sen I/2 @ = R´/D;

esto concuerda con lo que se ha visto en la nota al §. 230. Dividiendo entre sí a las dos ecuaciones anteriores, se saca

sen 1/2 @/sen II = R´/R,

o sustituyendo a la relación de los arcos la de sus senos, lo cual será suficiente, puesto que aquéllos son muy pequenos

@/2II = R´/R,

que es el teorema enunciado en el texto. Conoceráse de este modo la relación del radio del astro con el de la Tierra, y cubicándola, se tendrá a R´3/R3 para la de sus volúmenes. (N. del A.)

Para encontrar estos paralajes, consideremos sucesivamente nuestros dos triángulos esféricos; sea Z la distancia aparente al zenit, o ZS; @ la distancia polar aparente, o PS; P el ángulo horario aparente, o ZPS; A el azimut del astro, o el ángulo PZS. PZ, tercer lado del triángulo, será la distancia del zenit al polo, o el complemento de la latitud; la representaremos por D. Esto supuesto, y en virtud de las fórmulas de la trigonometría esférica, el ángulo P podrá expresarse en función de los lados del triángulo y del azimut, porque se tendrá

Cot P = Cot Z sen D-cos A cos D/sen A

Llamemos Z´, @´, P´, a las cantidades análogas en el triángulo ZPS´, entre los lugares verdaderos, y se tendrá del mismo modo

Cot P´ = Cot Z´ sen D-cos A cos D sen A

porque el azimut y la distancia del polo al zenit se conservan iguales para los dos triángulos; restando estas dos ecuaciones, se halla

Cot P-cot P´ = (cot Z-cot Z´) sen P sen D/ sen A

Sustituyendo a las cotangentes sus expresiones trigonométricas cos/sen, y reduciendo al mismo denominador, sácase de aquí

sen (P-P´) = sen (Z-Z´) sen D sen P sen P/ sen A sen Z sen Z´

Z-Z´ es cabalmente el paralaje de altura p, cuyo seno es igual a sen II sen Z, siendo II el paralaje horizontal; sustituyendo este valor, se tiene

sen (P-P´) = sen II sen D sen P sen P´/sen A sen Z´

Para facilitar el uso de esta fórmula, es conveniente eliminar de ella al azimut A, que no se observa comúnmente, y el cual ha servido sólo para enlazar nuestros dos triángulos. Puédese conseguirlo fácilmente; porque en todo triángulo esférico los senos de los ángulos son proporcionales a los senos de los lados opuestos. Así, en nuestro triángulo ZPS´ entre los lugares verdaderos, la relación sen P´/sen A es igual a sen Z´/sen @, siendo @´ la distancia polar verdadera; se tiene pues por la sustitución de este valor,

sen (P-P´) = sen P sen D sen P/sen @.

P-P´ es la diferencia del ángulo horario verdadero al ángulo horario aparente. Es cabalmente lo que se llama el paralaje de ascensión recta; y si le representamos por a, tendremos P = P´ + a, y eliminando a P, vendrá

sen a = sen P sen D sen P´/sen @´

y desenvolviendo a sen (P´ + a), se saca de aquí

tang a = sen P sen D sen P´/sen @´/1-sen P sen D cos P´/sen @´

Esta fórmula es absolutamente análoga a la del paralaje de altura § 252 (nota), y puede desarrollarse en serie del mismo modo; y circunscribiendo a los dos primeros términos, que serán siempre suficientes, se tendrá

tang a = sen II sen D sen P´/sen @´ + sen2 P sen2 D/ 2 sen2 @´ sen 2 P´ + ...

Se podrá asimismo despreciar con mucha frecuencia el segundo término, y sustituyendo entonces la relación a/II a tang a/sen P se tendrá por aproximación

Paralaje de ascensión recta = II sen D sen P´/sen @´,

Por último, podría hallarse aun con rigor el valor de tang a por una transformación análoga a la dada entonces, haciendo uso de un ángulo auxiliar f, tal que se tuviese

cos f = símbolo sen P sen D cos P´/sen @´

lo que da

tang a = sen P sen D sen P´/ sen @ sen2 f

Todas estas fórmulas, como que dan el paralaje por medio de los lugares verdaderos, están acomodadas al uso de las Tablas Astronómicas; y concuerdan en hacer ver que el paralaje de ascensión recta es nulo en el meridiano en que lo es P´.

El paralaje de declinación se halla por un cálculo análogo, comparando las distancias polares en nuestros dos triángulos. En efecto, si se llama A al azimut SZP contado desde el polo, se puede expresar a las distancias polares en función de A, de la distancia D del polo al zenit y del ángulo horario verdadero o aparente. Tendremos entonces,

cot @ = cot A sen P + cos P cos D/sen D cot @´ = cot A sen P´ + cos P´ cos D/sen D;

restando estas dos ecuaciones una de otra se saca

sen (@-@´) = sen @ sen @´/ sen D [cot A (sen P-sen P´ + cos D (cos P-cos P´)];

Ahora que se ha empleado al azimut A como constante, podemos eliminarle sustituyendo su valor en el triángulo verdadero en virtud de la fórmula

cot A = cot @´ sen D-cos P cos D/sen P´

que es idéntica con aquellas de que hemos partido, y tiene lugar en un triángulo en que se conocen dos lados @´ y D con el ángulo comprendido P´. A favor de esta expresión, la fórmula se reduce a

sen (@-@´) = sen @[sen @´ cos D sen (P-P´)/sen D sen P´-2 cos @´ cos2 (P + P´) sen I/2 (P-P´)/sen P]

Hemos llamado a al paralaje de ascensión recta P-P´; llamemos d al paralaje de declinación @-@´: tendremos entonces @ = @´ + d del propio modo que hemos tenido P = P´ + d; y en su virtud la fórmula se convierte en

sen d = [sen @´ cos D sen a/sen D sen P´-2 cos @´ cos (P´ + I/2 a) sen I/2 a)/sen P´] sen (@´ + d);

sustituyendo luego en el primer término por sen a su valor

sen P sen D sen (P´ + a)/@´

lo que le simplificará algún tanto, tendremos

sen d = [sen P cos D sen (P´ + a)-2 cos @´ cos(P´ + 1/2a) sen 1/2 a/sen P´] sen (@´ + d)

El coeficiente comprendido entre los paréntesis sólo depende de los lugares verdaderos, y será conocido todo él cuando se haya calculado el paralaje de ascensión recta; representándole por Q, la fórmula anterior se convertirá en

sen d = Q sen (@´ + d)

Es pues también análoga a la que nos ha dado el paralaje de altura así, así como el de ascensión recta; resolveráse pues del propio modo, ora exactamente por medio de un ángulo auxiliar, ora aproximadamente por medio de la serie

tang d = Q sen @´ + Q2/2 sen 2 @´ + etc.ª

En las aplicaciones se podrá siempre sin error sensible sustituir las relaciones de los arcos a d P, a las de sus senos y tangentes, lo que equivale a despreciar los cubos de los paralajes. Podráse entonces sustituir a I/2 el valor I/2 II sen D sen (P´ + a)/sen @´. Por último, si se circunscribe uno a la primera potencia de los paralajes, lo que bastará casi siempre, se podrá hacer nulos a a y d en los términos del segundo miembro que están ya multiplicados por II, y entonces viene

Paralaje de declinación = P (sen @´ cos D-cos @ sen D cos P´).

(N. del A.)

Sea en general P´ el paralaje horizontal de un astro en el ecuador, P este mismo paralaje a la latitud L; llamando D a la distancia del astro, A al radio del ecuador y R al radio terrestre, se tendrá

sen P´ = A/D, sen P = R/D;

de donde se saca

sen P = R/A. sen P´;

o sustituyendo la relación de los ángulos P´ y P a la de sus senos,

P = R/A. P´.

Por medio de esta fórmula se ve que el paralaje ecuatorial es el mayor de todos, y el polar el menor. En general, cuando se conozca a P´ se podrá calcular a P, tomando por el valor de R a la normal N cuya expresión es dada en el §. 136. Vese además que basta conocer a P por la observación relativamente a una sola latitud para deducir el valor de P´ o del paralaje ecuatorial. (N. del A.)

Suponiendo elíptica a la Tierra, se halla fácilmente que el ángulo w del radio con la vertical en un lugar cuya latitud geográfica es L, está dado por la fórmula

w = e sen 2 L.

siendo e el achatamiento de la Tierra. (N. del A.)

Sea Z la distancia al zenit aparente observada. Z´ esta distancia reducida al zenit verdadero, y por último Z´´ la distancia Z´ reducida al centro de la Tierra. Llamemos w al ángulo ZOZ´ formado por el radio con la vertical, y p al paralaje de altura para la distancia Z´. Supuesto esto, si el astro está en el meridiano del lado del ecuador, se tendrá

Z´ = Z-w; Z´´ = Z´-p; sen p = sen II sen Z´.

P es aquí el paralaje horizontal para el radio OC. Estas fórmulas suponen conocida a Z; pero si fuera la distancia verdadera Z´´ la dada, se sacaría fácilmente de aquí a Z, como en el § 252 (nota); porque las dos últimas ecuaciones darían también a p en función de Z´´ por la serie citada, y luego se deduciría

Z´ = Z´´ + p; Z = Z´ +w = Z´´ + p + w

Sería menester tomar a w negativamente, si el astro fuera observado del lado del polo. No olvidemos que estas fórmulas no son aplicables más que en el plano del meridiano.

El cálculo del paralaje por dos observaciones hechas en el meridiano a grandes distancias es tan fácil en el esferoide como en la esfera; porque designando siempre a las posiciones de los dos observadores por O,O´, fig. 67 análoga a la 61, el cuadrilátero COLO´, ofrecerá las mismas relaciones. Sólo que como las distancias al zenit observadas son LOZ,LO´Z en derredor de las verticales, ON,O´N´, será preciso para obtenerlas LOZ1,LO´Z´1 relativas al zenit verdadero, restar los ángulos de los radios CO,CO´, con las verticales correspondientes, ángulos que llamaremos w, w´, y pueden calcularse por la fórmula del § anterior. Así, llamando siempre p, p´ a los dos ángulos CLO,CLO´, o paralajes de altura, R y R´ a los dos radios terrestres en O, y O´; por último, P, P´, a los dos paralajes horizontales, y D a la distancia Cl del astro al centro de la Tierra, se tendrá como en el § 252,

sen P = R/D; sen P´ = R´/D; p = P sen (Z-w) p´ = P´ sen (Z´-w).

Entendemos aquí por paralaje horizontal aquel que tiene lugar cuando el radio visual es perpendicular al radio terrestre. El radio visual no es entonces tangente al esferoide; de manera que sería más exacto llamar al ángulo de que se trata mayor paralaje o paralaje máximo; pero el uso ha prevalecido. Siendo la relación de los senos de estos paralajes poco más o menos la misma que la de los arcos, se deduce de aquí P/P = R´/R, es decir, que son proporcionales a los radios terrestres, y aprovechando esta relación para eliminar a P´, las expresiones de p y p´, sumadas entre sí, dan

p + p´ = P [R. sen (Z-w) + R´. sen (Z´-w´)/R].

Mas la suma de los paralajes p + p´ es igual al ángulo OLO´, y también la suma de los cuatro ángulos del cuadrilátero COLO´ debe siempre ser igual a cuatro ángulos rectos como anteriormente: luego se tendrá

OLO´ = p + p´ = Z-w + Z´-w´-f;

siendo f el ángulo OCO´ formado por los dos radios terrestres. Prolonguemos las normales ON, O´N hasta su encuentro con la recta OE que representa el plano del ecuador: los ángulos ENO, EN´O´, formados con dicho plano por estas normales, serán las latitudes de los dos observadores; las llamaremos l, l´. Ahora, siendo estos ángulos exteriores a los triángulos NOC, N´O´C, se tendrá evidentemente

l = NCO + w; l´ = N´CO´ + w´;

de donde se saca

NCO + N´CO´ = f = l+ l´-w-w´;

valor que, siendo sustituido por f en la expresión de OLO´, da

OLO´ = Z + Z´-l-l´;

resultado enteramente análogo a aquel que tiene lugar en la esfera. Siendo este valor de OLO´, o de p + p´, igual al primero que hemos obtenido, dedúcese de aquí el valor del paralaje máximo para el observador O, el cual será

Pº = R (Z + Z´-l-l´)/R sen (Z-w) + R´ sen (Z´-w´)

Para el observador O´ se tendría

P´ = R´ (Z + Z´-ll´)/R sen (Z-w) + R´ sen (Z´-w´)

Estas expresiones son enteramente análogas a las del § 253 (nota), y no son más difíciles de calcular. Hemos supuesto en el cálculo que los dos observadores estaban situados desde los dos lados opuestos del ecuador; si estuvieran situados del mismo lado, sería menester mirar a la menor latitud como negativa en la fórmula anterior, y hacer tal también al valor correspondiente de w o de w´. En este caso, si el astro, en vez de estar situado entre los dos zenits, lo estuviese del mismo lado de éste con relación a ambos observadores, habría también necesidad de mirar como negativa a la menor de las dos distancias zenitales. Estos resultados serían fáciles de echar de ver por la figura relativa a cada uno de estos casos particulares. (N. del A.)

Sea A el azimut aparente del astro contado desde el polo: será el suplemento del ángulo Z´ZS. Sea Z la distancia al zenit aparente observada, Z´ la distancia aparente al zenit verdadero, w el ángulo del radio con la vertical. Esto supuesto, si se atiende a que cos (180-A) = -cos A, el triángulo esférico ZZ´S dará

cos Z´ = -sen Z sen w cos A + cos w cos Z;

tomando un ángulo auxiliar tal que se tenga

tang f = cos A tang w

vendrá

cos Z´ = cos w/cos f cos (Z + f)

Si se quiere deducir el azimut en virtud de la observación del ángulo horario, lo que es más fácil y frecuente que observarle, es muy sencillo. Porque, si se concibe un nuevo triángulo esférico ZPS, formado (fig. 69) por los tres rayos visuales tirados desde el observador al polo, al zenit aparente y al astro, se conocerá en este triángulo la distancia aparente observada o Z, la distancia del polo al zenit aparente o D; por último, el ángulo horario aparente o P. El ángulo SZP comprendido entre los dos lados Z y D de este triángulo es cabalmente igual al azimut A. Podráse pues calcular este azimut por la combinación de las fórmulas siguientes, sacadas de la trigonometría esférica

tang y =cos D tang P; sen (A + y sen y tang D/tang Z),

en que y es un ángulo auxiliar. Luego que se conozca a A por estas fórmulas, las dos primeras ecuaciones darán a conocer a Z´, o la distancia aparente al zenit verdadero. El paralaje, o P sen Z´, será conocido para esta distancia. Restándole de Z´ se tendrá la distancia a zenital verdadera Z´´ = Z´-II sen Z.

Si por el contrario fuera dada Z´´, se deduciría de ella a Z´ por las fórmulas del § 252 (nota), en que p representaría al paralaje de altura Z´-Z´´ referido al zenit verdadero. Luego se deduciría de aquí a Z, resolviendo el triángulo esférico SZ´Z en que el ángulo Z´, que es el azimut verdadero del astro, sería fácil de calcular por los elementos de su lugar verdadero. Pero hay otro método mucho más sencillo para hallar directamente a Z sin pasar por Z´. Se le verá en la nota siguiente.

Cuando Z es muy considerable con relación a w, puédese obtener fácilmente el valor de Z´-Z en serie convergente ordenada según las potencias de sen w. Mas esta reducción no es posible en general, porque los arcos Z, Z´, w pueden llegar a ser comparables entre sí cuando se observa al astro L muy cerca del zenit verdadero o aparente. (N. del A.)

En virtud de lo que se acaba de decir, llamando siempre w al ángulo de radio terrestre con la vertical, designando por a el paralaje de ascensión recta y por d el paralaje de declinación, las fórmulas halladas en la nota § 260 para el uso de la Tierra esférica darán en el esferoide

sen a = sen p sen (D + a) sen (P´ + a)/sen @´,

sen d = [sen P cos (D + w) sen (P´ + a)-2 cos @´ cos P´ + I/2 a) sen I/2 a/sen @] sen (@´ + d)

o con una aproximación casi siempre suficiente

a = P sen (D + w sen P´)/sen @´

d = P [sen @´ cos (D + w)-cos @´ sen (D + w) cos P´];

@´ es la distancia polar verdadera, y P´ el ángulo horario, vistos desde el centro de la Tierra. Calculados que sean a y d por estas fórmulas, si se llama @´ a la distancia polar y P al ángulo horario aparentes, vistos desde la superficie del esferoide, se tendrá

P = P´ + a, @ = @´ + d.

Con P, @ y D puede calcularse directamente la distancia aparente Z. Porque si se forma el triángulo esférico SZP, fig. 69, por tres rayos visuales tirados desde el observador al zenit aparente, al astro y al polo, se conocerá en este triángulo a los lados PS = @, PZ = D y el ángulo SPZ = P. Se inferirá pues fácilmente el tercer lado, o la distancia zenital aparente ZS = Z. Podráse asimismo calcular el ángulo SZP, o el azimut aparente del astro. Así tendrán todos los elementos del lugar aparente de este último del modo más sencillo, y por medio de los de su su lugar verdadero. Asimismo, si se forma el triángulo esférico S´Z´P por tres rayos visuales, tirados desde el centro de la Tierra al zenit verdadero, al astro y al polo, se conocerán en este triángulo los lados S´P = @´, Z´P = D + w, y el ángulo S´PZ´ = P´. Podráse pues calcular el tercer lado S´Z´ = Z´´ de donde se sacará a Z´ o Z´S, por las fórmulas del §. 252 (nota). También se podrá calcular el ángulo S´Z´P que es el azimut verdadero del astro. Se ve que la consideración de la elipticidad de la Tierra no complica estos resultados de manera alguna. (N. del A.)

Llamemos r al semidiámetro OC de la Tierra, y R al radio CL o CZ, tirado desde su centro al de la Luna. La línea OL, lado del triángulo rectángulo COL, tendrá por longitud símbolo R2-r2; la de la flecha OZ será R-r; y la diferencia de estas dos líneas, o el exceso de OL sobre OZ, estará expresada por

símbolo R2-r2-(R-r)

Si se supone, como sucede en la naturaleza, que r sea una fracción muy pequeña con relación a R, se podrá uno contentar con extraer por aproximación la raíz cuadrada indicada, sirviéndose para esto de la fórmula del binomio de Newton; y circunscribiéndose a las primeras potencias de r, se tendrá para esta raíz, R-r2/2R. La expresión anterior, que representa la diferencia de las líneas OZ y OL, estará pues expresada por r-r2/2R, es decir, que casi es igual a r; porque el término -r2/2R, es muy pequeño con relación a ella, toda vez que equivale al producto de r por r/2R que es una fracción sumamente reducida y poco diferente de 1/120. (N. del A.)