197. Al exponer la teoría de las refracciones atmosféricas, hemos anunciado en el tomo I que en las grandes triangulaciones geodésicas, las observaciones de las distancias zenitales recíprocas daban a conocer las diferencias relativas de altura de las estaciones sobre el esferoide formado por la continuación regular de la superficie de los mares circundantes, de donde se deducen todas sus alturas absolutas por una sola de ellas que directamente se mida. Entonces hicimos presentir únicamente el procedimiento general porque se realizaba esta aplicación importante, y ahora vamos a explicarle en todas sus circunstancias.
198. Dos puntos están de nivel relativamente a una esfera cuando se hallan a igual distancia de la superficie esférica sobre sus secantes respectivas tiradas al centro de ella. Y relativamente a un esferoide cualquiera, dos puntos están de nivel cuando se hallan a igual distancia de la superficie esferoidal sobre sus normales propias.
La observación se divide en dos partes en la aplicación al esferoide terrestre. Primero se determina directamente la altura absoluta de una de las estaciones sobre el nivel medio del mar más próximo; luego se determina la diferencia sucesiva de altura de todas las demás estaciones en sus normales respectivas sobre el elipsoide de revolución que es la continuación de esta superficie.
199. Para obtener el primer resultado, se conduce la red de triángulos hasta una estación inmediata a la orilla del mar de que se quiere partir. Designemos esta estación por S (figura 45). Se miden por una nivelación directa las alturas absolutas Sh1, Sh2 o h1, h2, del punto S sobre el nivel de dos pleamares consecutivas, y también su altura absoluta Sh o h sobre la baja mar intermedia I/2 (h1 + h2) da la altura S sobre la pleamar media, y I/2 (h1 + h2/2 + h) o h1 + h2 + 2h/4 es su altura sobre el nivel medio. Procédese a estas observaciones en un tiempo de calma para evitar las irregularidades accidentales que las oscilaciones periódicas del mar experimentan por efecto de la acción de los vientos, y se las compensa tomando el término medio total de muchas oscilaciones obtenidas en diferentes días.
200. Conociendo así la altura absoluta de la estación S1 se determinan sucesivamente las de las demás relativamente a ella por el procedimiento de las distancias zenitales recíprocas. En el tomo I citado hemos explicado extensamente esta aplicación: ahora corresponde extenderla a estaciones distribuidas sobre un elipsoide de revolución cuya configuración se da convencionalmente; y vamos a demostrar que esta extensión se hace con la mayor facilidad y casi sin modificar el cálculo.
201. Para hacerlo comprender, consideremos primeramente el caso sencillo de que las dos estaciones, cuya altura relativa se quiere conocer, S1 y S2 estén comprendidas en el plano de un mismo meridiano elíptico PM1M2A. Por la triangulación se conocen las distancias polares d1, d2, de sus normales respectivas, la posición de los puntos M1, M2 en que cortan al meridiano elíptico, y la longitud del arco de igual clase M1M2, que los separa. Efectivamente, este arco será un lado de los triángulos principales en el caso que consideramos; y a causa de la poca extensión dada a los mismos, podráse sin sensible error para la presente aplicación, asimilarle en cuanto a su longitud con un arco de círculo descripto desde el centro N con el radio NM igual a la normal N, tirada al punto M que es intermedio entre M1 M2. La primera idea que se presenta, sería pues calcular desde luego directamente por las distancias zenitales recíprocas la diferencia de altura de las dos estaciones S1 y S2 sobre el círculo trazado de este modo, y transportar el resultado a la elipse por alguna corrección que no podría menos de ser muy pequeña. Mas esta marcha presentaría dos graves inconvenientes. A la verdad, los intervalos comprendidos en cada normal entre la elipse y el círculo tangente en M serían muy cortos, una vez que en el § 143 hemos hallado que estos intervalos no excederían de tres toesas en las mayores amplitudes del arco M1M2, y la diferencia de sus valores sería la que se añadiría solamente a la diferencia de nivel calculada para el círculo tangente. Pero, haciendo la disimetría de la elipse en derredor del punto N desiguales a estos valores y variables según su posición, habría necesidad calcular la variación local de su desigualdad, lo cual sería un trabajo embarazoso. Además, la apreciación de la diferencia de nivel, aun en la esfera, supone que las distancias zenitales se miden a contar desde las secantes que aquí serían NM1S1, NM2S2; siendo así que realmente se las observa a partir desde las normales verdaderas N1M1V1, N2M2V2, las cuales hacen con las secantes ángulos variables que no pueden despreciarse. Esto exigiría así mismo otra reducción. Delambre, que ha seguido esta marcha en su obra sobre la Base del Sistema Métrico, t. II; p. 738, se ha visto envuelto en cálculos atrozmente complejos, cuya consecuencia final ha sido parecerle que todas estas correcciones se podrían despreciar; y en ello le han imitado la mayor parte de los autores que han querido tratar esta cuestión después. Empero, todas estas diferencias desaparecen como por encanto, cuando se mira al problema bajo otro aspecto, y se le aplican las sencillísimas fórmulas de la refracción terrestre que expusimos en el t. I.
202. Para esto, continuando en considerar primero el caso de dos estaciones situadas en un mismo meridiano elíptico (fig. 47), refirámoslas, no a la esfera tangente que fuese, descripta desde el centro N con el radio NM, como en la fig. 46, si no a la esfera osculadora en el sentido del mismo meridiano que se describiera desde el centro C con el radio osculador elíptico g. Tendrá esto dos ventajas. Primeramente el intervalo comprendido en las normales de cada estación entre el elipsoide y esta esfera será mucho menor que para la esfera tangente descripta desde el centro N; y en su excesiva pequeñez será además igual para las dos estaciones; de modo que su diferencia de nivel, medida sobre esta esfera, resultará exactamente la misma que sobre el elipsoide. Después, y en las mayores amplitudes que se den al arco M1M2, los radios osculadores esféricos CM1, CM2 no harán más que ángulos de algunas décimas de segundo con las normales tiradas desde las dos estaciones S1 y S2, como lo hemos demostrado en el § 120. Por lo tanto, si se emplean las distancias zenitales observadas a contar desde las normales, como partiendo de las prolongaciones M1C, M2C de estos dos radios, el resultado será absolutamente igual que si se supusiera un error del mismo orden en las refracciones que afectan a estas distancias, las cuales envuelven siempre particularmente vicisitudes y alteraciones físicas incomparablemente más considerables que las que hay precisión de despreciar. El cálculo se hará pues así con mucha exactitud por el uso del radio osculador en el medio M del arco M1M2, radio cuya longitud g puede valuarse siempre en números para el elipsoide que se adoptare, una vez que son conocidas las posiciones absolutas de los puntos M1 y M2 sobre el contorno de la elipse.
203. Viniendo ahora al caso de que las dos estaciones S1, S2, no estén comprendidas en el mismo meridiano, refirámoslas también a la esfera que fuese osculadora al elipsoide en el sentido del arco de menor distancia trazado por los pies de sus normales respectivas, (fig. 48). Sean C el centro de esta esfera y r la longitud de su radio que puede siempre calcularse. Los resultados de esta construcción serán los mismos que ha poco. Porque, en primer lugar, siendo también los intervalos comprendidos en cada normal entre el elipsoide y la esfera en extremo pequeños y sensiblemente iguales, la diferencia de nivel de ambas estaciones sobre la última, será la misma que sobre el primero. Tocante a los ángulos formados por cada radio CM1, CM2 con las normales, serían rigorosamente nulos si las dos estaciones estuvieran situadas sobre un mismo paralelo, toda vez que el centro de la esfera coincidiría entonces con el punto de encuentro de las dos normales sobre el eje polar. A partir de este caso de nulidad exacta, crecen estos dos ángulos a medida que ambas estaciones se acercan a un mismo meridiano. Pero una vez que entonces, y en tal estado de máximum, sus valores son despreciables en la actual aplicación, como acabamos de ver, lo serán siempre con mayor razón en los azimús intermedios. Así que las distancias zenitales observadas a contar desde las normales verdaderas podrán todavía considerarse medidas a partir del radio de la esfera que es osculadora en el medio M del arco M1M2 en el sentido de este arco, lo mismo que en el caso anterior.
204. No falta ya más que transportar aquí las fórmulas generales que hemos establecido en el t. I § 117 y siguientes para calcular las diferencias de nivel por la observación de las distancias zenitales, recíprocas o no, sobre una esfera de radio dado. Podremos en seguida examinar hasta qué grado de precisión se necesita el conocimiento y la aplicación particular del radio osculador r para reducirlas a números, cuando se conoce la longitud del arco circular M1M2, o A que une los pies de las normales sobre la esfera considerada. Porque este arco es dado siempre por la triangulación en las actuales circunstancias, toda vez que es uno de los lados de los triángulos principales.
205. En las fórmulas mencionadas se designaron por r´, r´´, las distancias respectivas de las dos estaciones S1, S2 al centro de la esfera. El acento ´ se aplica a los elementos de aquella para la cual se conoce dicha distancia, sin cuidarse de si es la más alta o la más baja, mediante a que el juego de los signos algebraicos decide en el resultado esta alternativa. Sea pues h´ (fig. 48) la altura absoluta de la estación S1 sobre el elipsoide, altura que deberá suponerse conocida por las observaciones anteriores. Tendráse, pues,
r´ = r + h´
y r´´-r´ será la diferencia de nivel que se encontrará positiva si S2 es más elevada que S1 y negativa en el caso contrario.
Las fórmulas contienen al ángulo en el centro S1CS2 o v comprendido entre las secantes tiradas a las dos estaciones. Siendo dado el arco M1MM2, podrá deducirse siempre el valor de este ángulo. Si se quiere expresarle por el arco que le mide en un círculo cuyo radio es 1. se tendrá
v = A/r.
Si se quiere expresarle en segundos de grado, y designarle bajo esta forma por v´´, se tendrá
v´´ = A/r R´´
También necesitaremos conocer la longitud de la cuerda rectilínea M1M2. Designándola por C, las expresiones aproximadas de la cuerda en valor del arco darán con la suficiente exactitud:
C = A-I/24 A3/r2
para lo que basta recordar que la cuerda C y el ángulo en el centro v están ligados por la relación rigorosa C = 2 r sen I/2 v, no siendo la precedente expresión de C más que el desarrollo de esta última, circunscripta a las terceras potencias de la relación A/r.
206. Ahora, y según la notación adoptada en el t. I, sean Z´, Z´´ las dos distancias zenitales aparentes, observadas u observables en S1 y S2; y llamemos +d, + d´´ a las refracciones locales, conocidas o no, que sería preciso añadir respectivamente a cada una de ellas para tener las distancias zenitales verdaderas, referidas a la cuerda rectilínea que se tirase desde S1 a S2. El triángulo rectilíneo S1CS2 establecerá entre todas respectivamente la relación general
Z´ + Z´´ + d´ + d´´ = 180º + v
tomando en seguida una cantidad auxiliar x, tal que se tenga
x = tang I/2 v tang I/2 (Z´´-Z´ + d´´-d´)
la expresión de la diferencia de nivel buscada será
r´´-r´ = 2r´x/1-x.
Esta expresión es general: no especifica de modo alguno si las distancias zenitales aparentes han sido observadas con simultaneidad sobre la misma trayectoria luminosa, o en épocas distintas y en trayectorias luminosas diferentes. Sólo supone que las refracciones locales d´ y d´´ han sido calculadas, teórica o prácticamente, tales como han debido tener lugar en la trayectoria particular en que se ha observado a cada una de las señales.
Puede introducirse la cuerda C en la expresión de x por su relación con el ángulo v por medio de la siguiente transformación:
x = 2 r sen I/2 v/2 r cos I/2 v tang I/2 (Z´´-Z´ + d´´-d´) = C tang I/2 (Z´´-Z´ + d´´-d´)/2 r cos I/2 v
207. En las aplicaciones x es siempre una fracción muy reducida: primeramente, porque la cuerda C es siempre muy pequeña comparativamente con el radio osculador r; y luego, porque, aplicándose las triangulaciones a la convexidad de la superficie terrestre, dos vértices de triángulos recíprocamente visibles uno de otro tienen siempre una diferencia levísima de nivel en comparación del arco que los separa. Motiva esto que el ángulo contenido bajo el signo tangente en el otro factor de x se diferencia ordinariamente muy poco de cero, que sería su valor si la diferencia de nivel fuese nula, así como las refracciones; y en su consecuencia la tangente de este ángulo, que forma el segundo factor de x, no tiene nunca más que un valor sumamente pequeño. Aprovechándonos, pues, de esta circunstancia, desenvolvamos en serie el factor 1/1-x que entra en la expresión de r´´-r´, lo que da
r´´-r´ = 2r´ x (1 + x + x2...);
sustituyendo entonces por r´ en el segundo miembro su valor r + h´, y poniendo en vez de x su expresión en C que acabamos de formar, resulta
(1) r´´-r´ = C (1 + h´/r) tang I/2 (Z´´-Z´ + d´´-d´)/cos I/2 v 1 + C/2r tang I/2 (Z´´-Z´ + d´´-d´)cos 1/2 v + C2/4r2 tang2 2(Z´´-Z´ + d´´-d´)/cos2 I/2 v + etc.
208. Examinemos primeramente la composición del factor que precede al paréntesis. El radio osculador r no aparece en él explícitamente sino como divisor de h´. Ahora la relación h´/r será siempre sumamente pequeña, aun cuando la triangulación atravesara las más elevadas cadenas de montañas del globo; y fuera de estas circunstancias excepcionales, será comúnmente despreciable. Luego el uso exacto del radio local r no será nunca necesario para calcular esta relación con la precisión suficiente, y podrá sustituírsele cualquiera otro de sus valores. La longitud de este radio entra también implícitamente en la valuación de la cuerda C, como ahora ha poco se ha visto; pero su cuadrado sirve en ella sólo de divisor al término correctivo en A3; de manera que se podría también sustituirle cualquiera longitud que de ella se diferenciase algún poco. Por último, este radio entra también implícitamente en el cálculo del ángulo v. Pero este arco sólo aparece aquí por el intermedio del coseno de su mitad que puede ponerse bajo la forma 1-2 sen2 I/4 v. Y siendo v muy pequeño en las aplicaciones en que nunca pasa de 1º 30´, límite a que está muy distante de llegar generalmente, el término resultante será cuando más 1-2sen2 22´30´´ o 1-0,0000409182; y así en este mismo caso daría 4 centímetros por una diferencia de nivel de 1000 metros. Este término correctivo sería, pues, aun suficientemente exacto, si se calculase a v con un valor de r que no fuera absolutamente rigoroso. Igual observación se aplica con mayor motivo a todos los términos comprendidos en el paréntesis grande que proceden de las potencias superiores de x. Así pues, y suponiendo por lo demás que se conociesen con exactitud las dos distancias zenitales Z´ y Z´´ y las refracciones d´ y d´´ que las afectan, un error de aplicación local en la valuación precisa de r sólo tendría una influencia insensible o sensible apenas sobre r´´-r´. Véase porque Delambre encontraba que las correcciones dependientes de la elipticidad del esferoide terrestre venían en definitiva a ser casi despreciables en el cálculo de las diferencias de nivel; y véase también porque cuantos le habían seguido han podido obtener estas diferencias con bastante exactitud tomando por radio de la esfera a la normal N tirada desde el medio del arco al eje polar en sustitución del radio r que es osculador en el sentido especial del arco A. Pero lo mismo que él, no han echado de ver el principio verdadero que hace que esto no tenga inconveniente. Cuando dentro de poco lleguemos a las aplicaciones numéricas, examinaremos los límites de elección a que puede extenderse aquélla.
209. Cuando las dos distancias zenitales recíprocas Z´ y Z´´ se observan ambas en el mismo instante físico, los radios visuales que las dan son tangentes a la trayectoria común que la disposición del momento de la capa de aire intermedia entre las dos estaciones hace describir entonces a los elementos luminosos que yendo de una a otra la atraviesan. En tal caso se supone generalmente que las dos refracciones locales d y d´´ son iguales entre sí y del mismo signo, lo cual las hace desaparecer en los símbolos trigonométricos, y reduce a la diferencia de nivel r´´-r´ a contener bajo ellos a las solas distancias zenitales observadas. Hemos discutido la realidad de esta hipótesis en una Memoria especial sobre las refracciones terrestres leída en la Academia de ciencias el 19 de noviembre de 1838, e inserta en las Adiciones al Conocimiento de los Tiempos para el año de 1842. Probamos entonces que, aun para el caso de un equilibrio regular en que la densidad de las capas de aire decrece igualmente sobre todas las secantes tiradas desde el centro de la esfera que envuelve la atmósfera, son desiguales las refracciones que afectan a dos distancias zenitales recíprocas, tomadas sobre una misma trayectoria luminosa. La que corresponde a la estación más baja es mayor que aquella que pertenece a la más elevada, y su desigualdad crece a medida que aumenta el ángulo en el centro. Mas cuando este ángulo está circunscripto a las amplitudes que se le dan en las operaciones geodésicas, la diferencia de ambas refracciones se atenúa hasta el punto de poder despreciarse sin que resulte error sensible. Así que, en las circunstancias meteorológicas sobre que establecimos nuestros cálculos y las cuales representaban el estado de la atmósfera cuando la ascensión de Mr. Gay Lussac, el exceso de la refracción inferior sobre la superior resultó ser de 19´´,68 para un ángulo en el centro de 1º30´. Despreciando este exceso, y suponiendo iguales a las dos refracciones en los dos puntos de la trayectoria luminosa comprendidos entre este ángulo y sus radios vectores, la diferencia de nivel obtenida entre los dos puntos fue de 1854m,017 en vez de 1846m,060 que era su valor rigoroso, lo que acusa tan sólo un error de 7m,957 sobre una medida total tan grande. Este error decrece rápidamente a medida que se hace menor el ángulo en el centro. Porque reduciéndole, por ejemplo, a 30´, lo que todavía es una amplitud poco común en las operaciones geodésicas, la diferencia de las dos refracciones sólo ha sido de 0´´478, y no podía producir sino un error insensible en la diferencia de nivel, que llegaba así a ser considerablemente menor que en el caso anterior.
210. No puede sin embargo admitirse esta hipótesis de igualdad, aun por aproximación, si no bajo la cláusula de que la densidad de las capas refringentes decrezca según una misma ley sobre todas las secantes de la esfera en la parte de atmósfera que separa a las estaciones que se consideran. Éste es felizmente el estado ordinario; y así pueden compensarse las leves variaciones accidentales, reiterando muchas veces las observaciones en diferentes días y en épocas de calma. Pero siempre es menester además que las distancias zenitales recíprocas que se quieren reunir por partes hayan sido observadas en los mismos instantes físicos para que puedan pertenecer a una misma trayectoria luminosa. Porque sin esta condición, como deberán casi infaliblemente pertenecer a trayectorias luminosas diversas, no podría ya admitirse con alguna verosimilitud la igualdad de las dos refracciones extremas, ni aun aproximada. Esto es sin embargo lo que han hecho durante largo tiempo todos los observadores, y en particular Delambre que ha combinado, como físicamente recíprocas, distancias zenitales observadas en diferentes días entre los vértices consecutivos de la red de triángulos que se extiende desde las orillas del Océano en Dunkerque hasta las del Mediterráneo en Barcelona. A la verdad se atenúa mucho la falta de simultaneidad, cuando se combinan así muchas series de observaciones reiteradas en cada estación durante días de calma y en épocas del año poco diferentes para ambas, lo cual viene a reducir poco más o menos la atmósfera a un estado medio común. Y ésta es la razón probablemente por qué la total diferencia de nivel, obtenida de este modo por Delambre entre el Océano y el Mediterráneo en sus dos estaciones extremas, ha resultado nula o del orden de los errores que sus observaciones envolvían.
211. No obstante, cuando las distancias zenitales recíprocas no han sido observadas simultáneamente, sería mucho más exacto calcular para cada una de ellas la refracción momentánea que la afecta, la cual puede inferirse de las circunstancias meteorológicas existentes en el instante en que se ha medido, como hemos indicado en los § 116 y 117 del torno I. En tales casos, si la estratificación de las capas de aire satisface a las condiciones de esfericidad, puédese con mucha aproximación admitir que entre los intervalos reducidos que ocupan los arcos geodésicos, la suma d´ + d´´ de las dos refracciones es proporcional al ángulo en el centro v. El coeficiente c de la proporcionalidad, propio para cada distancia Z´ o Z´´, se deduce de observaciones barométricas o termométricas hechas a diversas alturas en el momento en que se la mide; y se la calcula en números por la fórmula que entonces referimos §. 116. Cuando es conocido, se supone como anteriormente que las refracciones d´, d´´ que existían en el mismo instante sobre los dos extremos de la trayectoria luminosa eran iguales entre sí; y tomando la mitad de su suma cv, es decir, a I/2 cv por su valor individual, se le aplica a la distancia zenital observada que de este modo se cambia en distancia verdadera. Empero para deducir de este único elemento la diferencia de nivel r´´-r´, es preciso en la expresión analítica de ésta modificar el factor
tang I/2 (Z´´-Z´ + d´´-d´);
de modo que no contenga ya más que a la sola distancia zenital Z´ o Z´´ que se ha observado. Llégase a esto echando mano de la relación general
Z´ + Z´´ + d´ + d´´ = 180º + v.
Cuando establecimos esta relación en el tomo I, § 112, advertimos que la igualdad expresada por ella se aplicaba a todos los pares de distancias zenitales aparentes y recíprocas que están acompañadas de la refracción del momento que las afecta, hayan sido observadas o no simultáneamente. Puédese pues aplicarla aquí a la trayectoria luminosa que existía en el instante en que se ha observado una sola de las dos distancias zenitales e inferir de ella la otra. Si se hubiese observado, por ejemplo, a Z´, se eliminaría a Z´´ + d´´ de bajo el signo tangente, sacando de la ecuación anterior
I/2 (Z´´+d´´) = 90º + I/2 v-I/2 (Z´ + d´)
lo que dará
I/2 (Z´´-Z´ + d´-d´) = 90º + I/2 v-I/2 (Z´ + d´)-I/2 (Z´ + d´) = 90º-(Z´ + d´-I/2 v),
y por consiguiente
tang I/2 (Z´´-Z´ + d´´-d) = 1/tang (Z´ + d´-I/2 v);
si por el contrario se ha observado a Z´´ se eliminará a Z´, tornando
I/2 (Z´ + d´) = 90º + I/2 v-I/2 (Z´´ + d´´)
lo que dará
I/2 (Z´´-Z´ + d´´-d´) = I/2 (Z´´ + d´´)-90º-I/2 v + I/2 (Z´´ + d´´) = -90º + (Z´´ + d´´-I/2 v)
y por consiguiente
tang I/2 (Z´´-Z´ + d´´-d´) = -1/tang (Z´´ + d´´-I/2v)
Y entonces, si se ha encontrado por las circunstancias meteorológicas el coeficiente c de la proporcionalidad, igual en el primer caso a c´, y a c´´ en el segundo, se hará d´ igual a I/2 c´v o d´ igual a I/2 c´´v y se tendrá
Por la sola distancia zenital Z´,
tang I/2 (Z´´-Z´+d´´-d´) = 1/tang [Z´-I/2 (1-c´) v]
Por la sola distancia zenital Z´´,
tang I/2 (Z´´-Z´+d´´-d´) = -1/tang [Z´´-I/2 (1-c´´) v]
Ponemos aquí los coeficientes de v bajo esta forma, porque los valores de c son por lo común poco diferentes de 0,15, lo cual hace a 1-c´ y 1-c´´ positivos. Aunque las tangentes se encuentran ahora en el denominador, los términos en que se hallan no dejarán de ser muy pequeños, porque en las aplicaciones Z´ y Z´´ se diferencian siempre poco de 90º. Sustituidas estas expresiones en el desarrollo de r´´-r´, le dejarán pues todavía su rápida convergencia, y se tendrá:
Por la sola distancia zenital Z´,
r´´-r´ = + C (1 + h´/r) 1/cos I/2 v tang [Z´-I/2 (1-c´)v] {1 + C/2r cos I/2 v tang [Z´-I/2 (1-c´)v] + C2/4r2 cos2 I/2 v tang2 [Z´´-I/2 (1-c´) v]
Por la sola distancia zenital Z´´,
r´´-r´ = -C (1 + h´/r) 1/cos I/2 v tang [Z´´-I/2 (1-c´´) v] 1+ C/2r cos I/2 v tang [Z´´-I/2 (1-c´´)v] + C2/4r2 cos2 I/2 v tang2 [Z´´-I/2 (1-c´´) v] etc.
En las aplicaciones ordinarias, el factor que precede al paréntesis será frecuentemente el único a que sea menester atender, ora en la expresión general, ora en estas últimas; y cuando más, se necesitará calcular el término del otro factor que contiene a la primera potencia de C/2r. Esto lo demostrará para cada caso el cálculo mismo. Mas en las expresiones en que sólo se emplea una sola distancia zenital, como el ángulo v entra bajo el signo tangente, puede creerse que su apreciación requerirá más particularmente el uso del radio osculador exacto r que la expresión general en que este ángulo entra sólo por el coseno de la mitad de su valor. Esto es lo que nos enseñarán las aplicaciones numéricas que vamos hacer. Los cálculos a que dan lugar se abrevian poniendo de manifiesto la dependencia mutua de los términos de que se componen las fórmulas que acabamos de preparar. Tal es el objeto de las cantidades auxiliares que vamos a introducir.
PRIMER CASO. Se han observado simultáneamente las dos distancias zenitales recíprocas Z´ y Z´´.
Fórmese la cantidad auxiliar...
x´ = C tang I/2 Z´´-Z´/cos I/2 v
Se tendrá la diferencia de nivel
(1) r´´-r´ = (1 + h´/r) x´ (1 + x´/2r + x´2/4r2...)
SEGUNDO CASO. Se ha observado sólo a Z´. c´ es el coeficiente actual de proporcionalidad, o d´ + d´´ = c´ v´.
Cantidad auxiliar...
x´ = C/cos I/2 v tang [Z´-I/2 (1-c) v]
Diferencia de nivel:
(2) r´´-r´ = (1 + h´/r) x´(1 + x´/2r + x´2/4r2...)
TERCER CASO. Se ha observado sólo a Z´´. c´ es el coeficiente actual de proporcionalidad, d´ + d´´ = c´´v.
Cantidad auxiliar...
x´ = C/cos I/2 v tang [Z´´-I/2 (1-c´´) v]
Diferencia de nivel:
(3) r´´-r´ = (1 + h´/r) x´ (1 + x´/2r + x´2/4r2...)
La marcha que haya de seguirse en los pormenores del cálculo será siempre la misma. Primero se formará a x´, y luego se deducirán las diversas potencias de x´/2r, todo por las Tablas de logaritmos de siete decimales. Los elementos afectados de un solo acento pertenecen invariablemente en estas fórmulas a la estación S1, cuya altura absoluta h´ se considera que han dado a conocer las operaciones anteriores sobre la superficie del elipsoide, y por consiguiente sobre la esfera osculadora cuyo radio es r; y en esta misma se toma siempre la cuerda C. Dentro de poco se va a ver que para las aplicaciones prácticas no se necesitará nunca llevar la valuación de la serie más allá de su primer término x´/2r, siendo siempre insensibles los otros. Los hemos indicado nada más que para recordar la expresión finita de que se derivan por desarrollo.
212. Para completar por medio de un ejemplo numérico la exposición de estas fórmulas, escojamos un sistema de datos que traspase todos los límites de amplitud que pueden presentar las operaciones geodésicas. Le extractamos de nuestra Memoria sobre las refracciones terrestres, aneja al Conocimiento de los Tiempos de 1842, haciendo algunas modificaciones necesarias para nuestro objeto presente. Las longitudes están expresadas en unidades métricas, hoy adoptadas legalmente en Francia; y les conservaremos esta forma a fin de que los resultados a que nos conducirá nuestra actual aproximación, que supone iguales a las refracciones en las distancias zenitales recíprocas tomadas con simultaneidad, sean comparables inmediatamente con los obtenidos en la citada Memoria por un cálculo rigoroso en que se empleaban sus verdaderos valores individuales. Por igual motivo dejaremos a estas longitudes las fracciones de metro que las completan, y les uniremos sus logaritmos de diez decimales. Este rigor numérico, que sería tan exagerado como inútil en una aplicación real, tendrá aquí la ventaja de reproducirnos con exactitud los datos angulares sobre que se han fundado los cálculos de la Memoria. Convenido esto, véanse aquí los elementos correspondientes a las dos distancias aparentes zenitales Z´, Z´´, que se suponen observadas simultáneamente, con los valores de estas distancias mismas:
Longitud del arco comprendido entre los pies de las normales de las dos estaciones,
A = 166664m,1083, log A = 5,2218420829
Altura absoluta de la estación S1, sobre la superficie del elipsoide, identificada con la de la esfera osculadora en el sentido del arco A,
h´ = 98m,00, log h´ = 1,9912261.
Longitud del radio osculador en el sentido del arco A,
r = 6366100m,00, log r = 6,8038734563.
Distancias zenitales aparentes observadas simultáneamente ea las dos estaciones
Z´ = 90º0´0´´ Z´´ = 91º16´27´´,90
Con estos datos buscamos en primer lugar la longitud de la cuerda del arco A por su expresión.
C = A-I/24 A3,
y encontramos
C = 166664m,1083-4m,7596 = 166659m,3487,
de donde se deduce
log C = 5,2218296802
Buscamos en seguida el ángulo en el centro v por su expresión en segundos de grado, que es:
v´´ = A/rR´´
Efectuando el cálculo por logaritmos, resulta
v´´ = 5400´´ = 1º30´0´´
por consiguiente
I/2 v´´ = 0,45´; log cos I/2v = 1,9999628.
Suponiéndose a las dos distancias zenitales Z´, Z´´, observadas simultáneamente, será el caso de la fórmula (1). Considerando antes de todo al factor exterior al paréntesis, tenemos por datos
I/2 (Z´´-Z) = 0º38´13´´,95; h´ = 98m,00
Entonces terminamos el cálculo de este modo, circunscribiendo en adelante los logaritmos a siete decimales:
| log C = 5,2218297 | |
| log tang I/2 (Z´´-Z´) = 2,0461767 | |
| 3,2680064 | |
| log cos I/2 v = 1,9999628 | |
| log x´ = 3,2680436 | x´ =1853m,7179 |
| log h´/r =5,1873527 | |
| 2,4553963 | h´x´/r = 0m,0285 |
| Factor exterior... | F = 1853m,7464 |
| log F = 3,2680503 |
Tal es la parte principal de r´´-r´. Los términos de la serie que se combinan con F por multiplicación, se calculan como sigue. Nos ceñiremos a los dos primeros, porque va a verse que el segundo es ya inútil, no produciendo más que centésimas de milímetro a que se está muy distante de llegar por ningún género de observaciones.
| log x´ = 3,2680436 | |
| log 2 r = 7,1049034 | |
| log (x´/2r) = 4,1631402 | log (x´/2r)2 = 8,3262804 |
| log F = 3,2680503 | log F = 3,2680503 |
| 1,4311905 | 5,5943307 |
| (x´/2r) F = 0m,26989 | (x´/2r)2 F =0m,000039295 |
| F= 1853m,7464 | despreciable |
| Suma r´´-r´ = 1854m,016 |
Tal es por tanto la diferencia de nivel calculada en la hipótesis de igualdad de las dos refracciones d´, d´´. La diferencia rigorosa, calculada con sus valores individuales, es 1846m,06, como puede verse en la Memoria citada, p. 41. La hipótesis de su igualdad, pues, sólo ocasiona aquí un error de 7m,956; y siendo tan pequeño para tamaño arco, concíbese que llegará a ser pronto despreciable para arcos menores. Así lo confirma el cálculo en efecto; porque, la diferencia de las dos refracciones, que era aquí de 19´´,68, no sería ya más que de 0´´658 para un ángulo en el centro de 30´, según se ve en las páginas 43 y 45 de la Memoria citada. Ahora pues, ésta será ya una amplitud poco común en las operaciones geodésicas; y para una nivelación que se quisiera hacer muy exacta, se podría proceder fácilmente por intervalos de una amplitud menor.
213. En este cálculo resulta que es la más inferior aquella estación cuya altura absoluta era dada. Supongamos al contrario que esta altura lo hubiera sido para la superior, permaneciendo por lo demás las mismas que anteriormente las dos distancias zenitales observadas. Esto invertirá únicamente el signo de su diferencia Z´´-Z´ que se convertirá en -1º16´27´,90. Para obtener el nuevo valor de h´, conservando el mismo sistema de datos físicos, será preciso añadir 98m a la diferencia relativa exacta 1846m,06. Esto dará, pues h´ igual a 1944m,06. Entonces x´ se hará negativa, conservando por lo demás el propio valor absoluto que anteriormente. Mas el de h´/2r que con él se combine, se hará mayor que antes, y efectuando el cálculo numérico del mismo modo para obtener desde luego el factor exterior F, se tendrá:
| log h´ = 3,2887097 | |
| log r = 6,8038735 | |
| log (h´/r) = 4,4848362 | |
| log x´ = 3,2680436- | x´ = -1853m,7179 |
| log (h´/r)x´ = 1,7528798-h/r | x´ = -0m,56608 |
| F = -1854m,2840 | |
| Por consiguiente | log F = 3,2681762- |
El factor F, convertido en negativo, resulta notablemente mayor que anteriormente. Pero va a efectuarse la compensación por el producto F (x´/2r) que se torna aquí positivo a causa del signo negativo de sus dos factores. Efectivamente, el cálculo de los dos primeros términos de la serie da efectuado como antes:
| log (x´/2r) = 4,1631402- | log (x´/2r)2 = 8,3252804+ |
| log F = 3,2681762- | log F = 3,2683762- |
| 1,4313164+ | 5,5945566- |
| (x´/2r) F = +0m,26997 | (x´/2r)2F = -0m,000039306 |
| F = -1854m,2840 | despreciable. |
| Suma r´´-r´ = -1854m,014 |
La diferencia de nivel calculada vuelve, pues, a encontrarse la misma que anteriormente, con la variación de dos milímetros. Empero ha cambiado de signo, porque la estación cuya altura absoluta era dada resultaba la más alta de las dos. La pequeña diferencia 0m,002 consiste aquí en el error de la hipótesis de igualdad de ambas refracciones, que no tiene una influencia enteramente igual cuando se procede del uno o del otro modo; lo que no existe ya cuando se hace el cálculo sobre la trayectoria rigorosa, aplicando a cada distancia zenital observada la refracción d´ o d´´ que la afecta, según hemos demostrado ea la Memoria citada, pág. 49. La diferencia encontrada no tiene aquí importancia alguna, y la señalamos nada más que para hacer notar que toda aproximación, fundada sobre principios teóricos exactos, debe sólo dar, como ésta, discordancias despreciables, cualquiera que sea el orden en que se la aplique, en dos estaciones especificadas por elementos señalados.
214. Vamos ahora a examinar hasta qué punto estas determinaciones requieren el uso rigoroso del radio r, que es osculador al elipsoide en el sentido del arco A que une los pies de las normales de las dos estaciones. Para esto repetiremos el cálculo con los mismos datos, atribuyendo a este radio una longitud muy notablemente diversa, aunque contenida sin embargo en los límites generales de los valores que puede tomar en el elipsoide considerado. Para esta prueba escogemos el radio que fuese osculador al punto medio de un arco terrestre situado a la distancia polar de 45º, y formando también un ángulo de igual valor con la dirección del meridiano local. Será una especie de radio osculador medio que, si puede bastarnos, dispensará de buscar el osculador local en cada caso propuesto.
215. Sean r este radio desconocido, g y N los dos respectivamente osculadores, en el sentido del meridiano y en el transversal al punto medio del arco que se considera. Llamando i al azimut de este arco, se tendrá generalmente en virtud de lo que se ha dicho en el § 124.
1/r = 1/g cos2 i + 1/N sen2 i
Los valores de g y N para el elipsoide terrestre a la distancia polar d son
g = a (1-e2)/(1-e2 cos2 d)3/2, N = a/(1-e2 cos2 d)I/2
En la aplicación que queremos hacer a la distancia de 45º, cos2 d se convierte en I/2, lo cual da
1/g = (1-I/2 e2)I/2/a (1-e2), 1/N = (1-I/2 e2)I/2/a
y como el azimut i = 45º que atribuimos al arco A da también cos2 i = sen2 i = I/2, se tendrá
1/r = 1/2a [(1-I/2 e2)3/2/1-e2 + (1-I/2 e2)I/2].
Desarrollemos en serie las dos partes del factor comprendido en los paréntesis y ciñéndonos a los términos en e2, sacamos de este modo
(1-I/2 e2)3/2/1-e2 = 1 + 1/4 e2 + 11/32 e4..., (1-I/2 e2)I/2 = 1-1/4 e2-1/32 e4...
La primera potencia de e2 desaparece, pues, en la suma de estas dos cantidades, y sustituyéndolas en la expresión de r resulta
1/r = 1/a (1 + 5/32 e4...)
En su consecuencia, el radio osculador definido por los anteriores convenios sólo discrepa del semieje mayor a por cantidades del orden e4 que son sumamente pequeñas en el elipsoide terrestre. Así que podremos muy bien sustituirle con este último en la prueba aproximada que nos proponemos.
216. Hemos encontrado arriba el valor de a en toesas. Para emplearle en nuestro presente cálculo será preciso convertirle en metros; y sin anticipar nada sobre la valuación de la unidad métrica que haremos ulteriormente, nos basta saber que la relación del metro legal a la toesa es 443,296/864
De aquí se saca
| Logaritmo del metro legal en toesas | log m = 1,7101800700 |
| Pero expresando a a en toesas hemos encontrado § 135 | log a = 6,5147956789 |
| Luego tendremos en metros de la longitud legal | log a = 6,8046156089 |
Vamos a emplear este valor para calcular la diferencia de nivel r´´-r´ sustituyéndole al del radio realmente osculador de que habíamos hecho primero uso.
Busquemos primeramente el ángulo en el centro v por su expresión,
v´´ = A/a R´´
y tendremos como antes
| log A = | 5,2218420829 |
| log a = | 6,8046156089 |
| 2,4172264740 | |
| log R´´ = | 5,3144251332 |
| log v´´ = | 3,7316516072 |
de donde se saca
v´´ = 5390´´, 78 = 1º29´50´´, 78; log cos I/2 v = 1,19999229
Se ve que este cálculo habría podido efectuarse con los logaritmos de siete decimales. El valor obtenido aquí para v´ es relativamente demasiado reducido en 9´´, 22; pero esto ocasiona sólo una unidad de diferencia en la séptima decimal del logaritmo de cos I/2 v. Calculemos del mismo modo la cuerda C por su expresión
C = A-1A3/24 a2
y encontramos C= 166664m,1083-4m,7433 = 166659m,365, de donde log C = 5,2218297227.
El error de la valuación de C es sumamente pequeño, como podía esperarse; y no altera en una unidad a la séptima decimal de su logaritmo. De ello no podrá resultar ninguna diferencia sensible en el valor de r´´-r´.
Terminemos el cálculo con estos nuevos elementos para el primer caso que hemos considerado en que la altura dada absoluta es la de la estación S1 igual a 98 metros. Porque este valor de h´ es independiente de la longitud que se atribuye al radio de la esfera osculadora; por lo demás, se tiene siempre
I/2 (Z´´-Z´) = 0º38´13´´,95.
De aquí resulta pues:
| log C = 5,2218297 | |
| log tang I/2 (Z´´-Z´) = 2,0461767 | |
| 3,2680064 | |
| log cos I/2 v = 1,9999629 | |
| log x´ = 3,2680435 | x´ = 1853m,7174 |
| log (h´/a) = 5,1866105 | |
| log (h´/a)x´ = 2,4546540 | h´x´/a = 0m,0285 |
| F = 1855-,7459 | |
| log F = 3,2680502 |
La parte principal de r´´-r´ aparece casi apenas diferente de la que era anteriormente. Pasemos al cálculo de los términos correctivos:
| log x´ = 3,2680435 | |
| log 2a = 7,1056456 | |
| log (x´/2a) = 4,1623979 | log (x´/2a)2 = 8,3247958 |
| log F = 3,2680502 | log F = 3,2680502 |
| 1,4304481 | 5,5928460 |
| (x´/2a)F = 0m,26943 | (x´/2a)2 F = 0,000059168 |
| F = 1853m,7459 | despreciable |
| r´´-r´ = 1854m,0153 | |
| en vez de r´´-r´ = 1854m,016 |
El uso del semieje mayor en sustitución del radio osculador en el sentido del arco no ha ocasionado, pues, aquí discrepancia alguna sensible en la valuación de la diferencia de nivel, y por consiguiente lo propio sucederá en todas las aplicaciones ordinarias en que la longitud del arco A será generalmente mucho menor que en nuestro ejemplo. Así, cuando las distancias zenitales recíprocas sean además simultáneas, la investigación del radio local, particularmente osculador en el sentido del arco A, no será necesaria. Podránse calcular, pues, todos los resultados, sustituyendo en su lugar el semieje mayor de la elipse, considerado como radio osculador medio. Pero aquélla de las dos alturas absolutas h´ o h´´ que sea dada, deberá contarse siempre a empezar desde la superficie misma del elipsoide sobre la normal verdadera de cada estación. Además, esto supone que se conoce exactamente a la longitud del arco terrestre A.
217. Vamos a proceder a pruebas análogas para el caso en que las distancias zenitales Z´, Z´´, aunque recíprocas, no hayan sido tomadas simultáneamente; de manera que entonces sea preciso calcular la diferencia de nivel por sus valores individuales asociados al coeficiente c de la proporcionalidad que conviene a las circunstancias locales de cada observación. Encuéntrase la expresión de este coeficiente en nuestra Memoria sobre las refracciones terrestres, pág. 54, y el cual hemos reproducido en el tomo I de esta obra cap. VII. Para las condiciones atmosféricas respectivas a la estación inferior designada aquí por S1, la fórmula le da igual a 0,1473252, según entonces manifestamos, y como pudiera comprobarse poniendo en ella los elementos meteorológicos allí consignados. Admitiendo este valor del coeficiente, procedamos a calcular el de r´´-r´ por la fórmula (2) de ahora. Efectuemos primeramente esta operación con el verdadero radio osculador r, empleado ya en el primer ejemplo, de modo que los otros datos c, v, h´ sean aquí los mismos que entonces los tuvimos; y además será preciso unir a ellos la distancia zenital aparente, sacaremos por multiplicación
I/2 (1-c´)v´´ = 0º45´0´´-6´37´´,778 = 0º38´22´´222;
y por consiguiente,
1/tang [Z´-I/2 (1-c´)v] = tang 38´22´´222
El producto I/2 c´v, representa aquí a la refracción local d´ que se supone debe ser añadida a la distancia aparente Z´ para transformarla en verdadera. El valor exacto de esta refracción, rigorosamente calculado en virtud de los datos meteorológicos respectivos a la estación S1, es 6´55´´89, como puede verse en la p. 43 de mi Memoria, y también es la que le atribuimos en el tomo I de la presente obra § 114. El error de 18´´,11 que se encuentra en la valuación de ahora, es el resultado combinado de las dos hipótesis por las cuales se supone aquí a las dos refracciones d´, d´´ iguales entre sí, y a su suma proporcional a la amplitud del arco v. Estos dos motivos de inexactitud subsistirán siempre en el cálculo de las diferencias de nivel en que no pueda más que una sola distancia zenital; teniéndose además que tener los errores que podrían cometerse en el cálculo del coeficiente c, si no se lo ha calculado en virtud de las circunstancias meteorológicas contemporáneas de la observación de la distancia aparente, según hemos hecho aquí.
218. Partiendo pues de estos datos, introduzcámoslos en la fórmula (2) para sacar de aquí el valor de la diferencia de nivel r´´-r´, y presentemos minuciosamente el tipo de este cálculo a fin de que pueda seguirse paso tras paso la influencia de las cantidades que le hacen diferenciar de aquel que efectuamos primeramente en el caso en que se empleaban las dos distancias zenitales Z´,Z´´.
| log C = 5,2218297 | log tang (38´22´´222) =2,0477401 |
| 3,2695698 | |
| log cos I/2 v = 1,9999628 | |
| log x´ = 3,2696070 | x´ = 1860m,4030 |
| h´ = 98m log(h´/r) = 5,1873527 | |
| 2,4569597 | (h´/r)x´ = 0m,286 |
| F = 1860m,4316 | |
| log F = 3,2696137 |
Términos correctivos:
| log x´ = 3,2696070 | |
| log 2 r =7,1049034 | |
| log (x´/2r) = 4,l647036 | log (x´/2r)2 = 8,3294088 |
| log F = 3,2696137 | log F = 3,2696137 |
| 1,4343173 | 5,5990225 |
| (x´/2r) F = 0m,27184 | (x´/2r)2 F = 0m,000039721 |
| F = 1860m,4316 | despreciable. |
| r´´-r´ = 1860,7034 | |
| Valuación anterior | 1854m,016 |
La diferencia de nivel encontrada aquí es, pues, mayor que la que habíamos obtenido por la aplicación de las dos distancias zenitales simultáneas y recíprocas; y así se aparta todavía más de la diferencia real 1846,06. Es una consecuencia inevitable de las dos hipótesis aproximadas que entran en este nuevo cálculo; y tanto por esta causa, como por los errores que se cometerían en el valor del coeficiente c, si no se le determinase por observaciones meteorológicas, las diferencias de alturas calculadas de este modo no deberán emplearse para una nivelación geodésica que se quisiera hacer con exactitud, a menos de que las amplitudes de los arcos A no fueran mucho menores que lo que hemos supuesto en este ejemplo.
219. Vamos ahora a reproducir el mismo cálculo empleando el semieje mayor a del elipsoide en vez del radio osculador verdadero r, como hicimos en el primer ejemplo sobre las distancias recíprocas, a fin de estimar el error que pudiera resultar aquí de esta sustitución.
Desde luego aparecerán algunas diferencias en los valores de la cuerda C y del ángulo central v que se deducen del arco dado A. Ya las hemos calculado en el § 200. Pero aquí el nuevo cálculo del ángulo v adquirirá mayor influjo por su presencia en el producto (1-c´)v. Hemos encontrado para este caso v´´ igual a 1º29´50´´78 ó 5390´´,78. Combinando este valor con el del coeficiente c´ que es 0,1473253 para la estación S1 que consideramos, se encuentra
I/2 (1-c´) v´´ = 0º44´59´´,39-6´37,099 = 0º38´18´´,291
luego
1/tang Z´-1/2 (1-c´) v = tang 38´18´´,291
El arco que entra aquí bajo el signo tangente es menor en 4´´ que en el caso precedente, y se acerca más al valor que le asignan las dos distancias zenitales simultáneas. La diferencia de nivel r´´-r´ resultará con esto un poco más pequeña y menos diferente de aquellas que habían dado esta distancia por su asociación. Con tales datos, y los resultados obtenidos ya en el § 200, tomando a a como radio osculador, el cálculo se concluye del modo siguiente:
| log C = 5,2218297 | |
| log tang (38´18´´291) = 2,0469979 | |
| 3,2688276 | |
| log cos I/2 v = 1,9999629 | |
| log x´ = 3,2688647 | x´ =1857m,2256 |
| h´ = 98m log (h´/a) = 5,1866105 | (h´/a)x´ = 0m,0285 |
| 2,4554752 | F = 1857m2541 |
| log F= 3,2688714 |
Términos correctivos:
| log x´ = 3,2688647 | |
| log 2 a = 7,1056456 | |
| log (x´/2a) = 4,1632191 | log (x´/2a)2 8,3264582 |
| log F = 3,2688714 | log F = 3,2688714 |
| 1,4320905 | 5,5953296 |
| (x´/2a)F = 0m,27055 | (x´/2a)2 F = 0,000039385 |
| F = 1857m,2541 | despreciable. |
| r´´-r´ = 1857,5247 |
en vez de 1860m,7034 encontrados empleando el radio osculador en el sentido del arco.
La diferencia de estas dos valuaciones es sólo de 3m,179, y ya así de suyo muy leve. Empero todavía lo parecerá más, si se la compara con las amplitudes de los errores que las determinaciones obtenidas por una sola distancia zenital envuelven siempre, en razón de la incertidumbre afecta al uso del coeficiente c´ que los observadores, hasta ahora por lo menos, no se toman la molestia de calcular por los elementos meteorológicos, contentándose con adoptar una valuación media que debe ser inexacta en una multitud de casos particulares. Por esta causa, unida a las incertidumbres propias del método en sí mismo considerado, nos creemos con derecho para inferir que, así en esta aplicación, como en aquella en que se emplean las distancias zenitales simultáneas, es completamente inútil hacer variar las longitudes de los radios osculadores que se aplican a los arcos dados A. Porque las diferencias de nivel obtenidas tendrán toda la exactitud a que se puede aspirar, si se las calcula con el radio osculador medio y constante, representado por el semieje mayor del elipse sobre el cual se ejecuta la nivelación. Por lo demás, esto supone siempre que es dada exactamente la longitud del arco A, y que el radio a se le aplica sólo para calcular el pequeñísimo término correctivo que sirve para deducir la cuerda C. Respecto al valor del ángulo en el centro v, que también se calcula con el radio a en virtud de la longitud dada del arco, es esencial advertir que sólo es suficiente para el uso que del mismo se quiere hacer aquí. Pero para cualquiera otra aplicación en que se necesitara conocer exactamente este ángulo, sería preciso calcularle con el valor especial del radio r que es osculador en el sentido del arco, como supusimos primero que lo hacíamos en el §. 195.
220. En las operaciones geodésicas se observa la depresión del horizonte del mar en todas las estaciones desde donde se le descubre, y de aquí se saca una valuación de la altura absoluta. Hemos expuesto detalladamente este procedimiento en el torno I de esta obra, cap. VII, y en nuestra Memoria sobre las refracciones terrestres, sección VI, pag. 70. Nada tenemos que añadir a lo que entonces dijimos. Recordaremos sólo que, siendo desconocido en este caso el ángulo central v, es menester suplir su falta con el uso de las circunstancias meteorológicas que por desgracia no pueden determinarse experimentalmente más que en el mismo lugar donde se observa, toda vez que es desconocido el punto de tangencia sobre la superficie del mar. Y entonces particularmente es cuando ofrecen más variedad las condiciones de la disminución de las densidades por las diversas causas que hemos explicado, la principal de las cuales consiste en la diferencia que reina casi siempre entre la temperatura de la superficie de las aguas y la de la capa de aire que la cubre. Por consiguiente es muy poco seguro semejante método de determinación. Mas pudiera hacerse de él una aplicación utilísima para la física de la atmósfera invirtiendo el problema. Porque en semejantes casos, siendo siempre determinable directamente la altura absoluta de la estación, ora por una nivelación conducida hasta la orilla del mar, ora por observaciones barométricas simultáneas hechas en la estación y sobre la playa, la comparación que pudiera hacerse de ella con el resultado deducido de las depresiones del horizonte aparente, descubriría las inflexiones que la trayectoria luminosa experimenta entre el horizonte y el punto de tangencia, lo que conduciría a consecuencias muy importantes.
221. El conocimiento de la disminución de las densidades sobre las verticales terminadas en una misma trayectoria luminosa, combinado que fuese con las distancias zenitales recíprocas que se observasen simultáneamente, bastaría en teoría para calcular la diferencia de nivel comprendida entre estos dos puntos, independientemente del ángulo central v, o del arco terrestre A que separa los pies de estas verticales. Mas según ya advertimos en el tomo I, §. 118, este método de valuación emplea en realidad como base a la longitud total del radio terrestre, tirado desde el centro de la esfera osculadora a aquélla de las estaciones cuya altura absoluta sobre la misma se conoce, y la magnitud de este elemento hace muy incierto al resultado obtenido. Esto es cabalmente lo que sucede cuando se deducen las alturas en virtud de la medida de las depresiones del horizonte del mar. La fórmula que se emplea entonces es precisamente la que se aplica al caso general de que las dos distancias zenitales recíprocas hayan sido observadas con simultaneidad. Pero sino hay otro remedio en tal caso que resignarse con esta incertidumbre imprescindible, es esencial evitarla en todos los casos en que esto es posible, introduciendo como elemento determinante a la cuerda del arco terrestre comprendido entre las dos estaciones.
222. La demasiada variedad de las medidas de longitud, volumen y peso, usadas en otro tiempo en las diferentes provincias de Francia, ofrecía al gobierno, como igualmente al comercio, inconvenientes reconocidos hacía mucho tiempo. Empero el carácter legal, que tenían los usos individuales de estas provincias, no habría permitido fácilmente a la administración Real reducirlas a la uniformidad. Cuando la revolución de 1799 puso en manos de la Asamblea Constituyente toda la fuerza del poder central, algunos hombres ilustrados pensaron en aprovecharse de esta coyuntura para dar a Francia un sistema de medidas uniforme y general, cuyas partes todas estuviesen sujetas a una forma regular de derivación. Una comisión, escogida en el seno de la Academia de Ciencias y compuesta de Borda, Lagrange, Laplace, Monge y Condorcet, quedó encargada de proponer una elección de unidad fundamental, y de indicar las operaciones necesarias para determinarla. Primeramente pensaron en tomar por tipo a la longitud del péndulo simple de segundos, medida bajo el paralelo de 45º. No se sospechaba entonces que fuese variable bajo un mismo paralelo terrestre. No obstante, renunciaron a ella por la consideración de que la determinación de esta longitud encierra un elemento extraño y arbitrario, que es la unidad de tiempo por que se la define. Parecióles preferible escoger por unidad la diez millonésima parte del cuadrante de un meridiano terrestre, que después se ha designado bajo el nombre de metro. Y no es que tuvieran por cierto que todos los meridianos fuesen idénticos entre sí, toda vez que formalmente indicaron que sospechaban lo contrario; mas, al escoger aquel que pasa por París, y que se halla también a poca distancia de Londres, esperaban que un elemento, que era así físicamente común a las dos naciones de Europa más sabias a la sazón, parecería bastante lejano de aplicaciones particulares para ser aceptado universalmente. Pidieron en su consecuencia que se emprendiese una grande operación geodésica y astronómica desde Dunkerque hasta Barcelona, y se dedujera la unidad lineal de sus resultados, ora solos, si era posible, ora combinados según la necesidad con las medidas del propio género, efectuadas ya por los académicos franceses en el Perú y Laponia. Este principio fue adoptado y convertido en ley por la Asamblea constituyente, y al punto se acordaron todas las medidas de ejecución. Tal fue el motivo de los grandes trabajos de Geodesia, Astronomía y Física, ejecutados después por Méchain, Delambre y Borda, trabajos que llenó de dificultades y peligros la borrasca política que se levantó a poco. De todos estos obstáculos triunfó el infatigable celo de los ilustres sabios. Los resultados de sus operaciones, discutidos por una comisión compuesta de los de todas las naciones, se presentaron a la aprobación del cuerpo legislativo el 4 mesidor de año VII (22 de junio de 1799), así como los tipos de medida de longitud y peso que de ellos se deducían, y los cuales fueron adoptados legalmente como definitivos. El metro se presentaba como igual a 443l,295936 de la toesa de hierro del Perú, tomada a la temperatura centesimal de 16º,25, o a 443,296 en números redondos. Esto suponía al cuadrante del meridiano elíptico igual a 5130740 toesas definidas de este modo, y por consiguiente a su diezmillonésima parte, o el metro, igual a 0T,513074073. Habíase llegado a estos números combinando el arco de meridiano medido entre Monjuich y Dunkerque con el achatamiento supuesto de 1/334. Tal es, pues, la longitud del metro legal de Francia, que está representado por el padrón de platina depositado en los archivos nacionales. No hay ya que tocar a este elemento, como tipo de unidad lineal adoptado para en lo sucesivo. Cálculos más profundos han probado después, como vamos a demostrarlo, que esta evaluación no reproduce con toda exactitud la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre, que en la hipótesis elíptica se deduce, ora del arco observado mismo, ora de este propio arco extendido entre los paralelos de Greenwich y Formentera. En realidad es un tanto demasiado pequeña, lo que consiste en parte en las irregularidades locales del arco, que se aparta notablemente de la elipse media terrestre, y también en el valor en extremo particular del achatamiento de que se hizo uso. Pero no es metros afortunado por esto que se hubieran dado prisa a adoptar tales resultados, aunque pueda sospecharse con razón que carecen de otra precisión absoluta. Porque la gran ventaja que se trataba de alcanzar, la de la uniformidad de las medidas legales en Francia, quedó realizada de este modo; y acaso se habría renunciado a establecerla sobre esta base física o sobre cualquiera otra análoga, si se hubiera sabido que la diversidad de los meridianos terrestres, y las irregularidades especiales del meridiano de Francia hacían imposible la determinación rigorosa que se había esperado al principio. Esto es lo que se va a ver claramente por la discusión en que vamos a entrar.
223. Sea Q la longitud de un cuadrante de elipse, cuyo semieje mayor es a, y e2 el cuadrado de su excentricidad. Por el cálculo integral se demuestra que,
Q = I/2 p a (1-I/4 e2-3/64 e4-5/256 e6-175/16384 e8...)
Esta expresión se halla establecida en el Tratado del cálculo diferencia e integral de Lacroix, tomo II, pág. 71 y 175. La serie puede prolongarse de una manera indefinida por una ley numérica evidente. Empero la pequeñez de e2 en las elipses terrestres hace más que suficiente la aplicación de los términos de que nos hemos hecho aquí cargo.
Empleemos primeramente los valores de a y e2 que nos han sido dados por la combinación del arco de Francia y España con el del Perú. Expresando a a en toesas, hemos hallado en los §. 122 y 124
log e2 = 3,8120924, y log a = 6,5148113477
Con estos valores se tendrán principalmente para el término principal de Q,
log a = 6,51418113477
log I/2 p =0,1961198770
Luego log a = 6,7109312247; 1/2 pa = 5139622T,536
Calculados que sean después los términos correctivos con este factor y el logaritmo dado de e2, se encuentra deteniéndose en las milésimas de toesa,
| 1/2 pa e2/4 = 8336T,113 | |
| 1/2 pa 3/64 e4 = 10T,140 | |
| 1/2 pa 5/256 e6 = 0T,027 | |
| 1/2 pa 175/16384 e8 = 0T,0009 | |
| Suma de los términos sustractivos | 8346T,281 |
Vese que el término en e2 es ya casi insensible, y que podremos despreciarle en las pruebas análogas. Sustraída esta suma de términos del principal 5139622T,536 se tiene el cuadrante de la elipse igual a 5131276T,255. La diezmillonésima parte de este número dará la longitud del metro en toesas; y multiplicándola por 864, se la obtendrá en líneas. Resultará pues por esta combinación:
| Longitud del metro en toesas | 0,T5131276255 |
| o en líneas | 443l,342268 |
| Esta evaluación sobrepuja al metro legal en | 0l,046332 |
224. Vamos a hacer un cálculo parecido por los valores de a y de e2 que hemos encontrado combinando el arco medio de Francia y España con el de Laponia; pero abreviemos los pormenores.
Según lo que se ha visto en el § 131, los datos serán:
log e2 = 3,7957381; log a = 6,5147800106
Estos números dan primeramente por término principal:
log I/2 pa = 6,7108998876; I/2 pa = 5139251T,693
| Encuéntrase después para la suma de los términos sustractivos | -8036T ,886 |
| Luego, longitud del cuadrante de elipse | 5131214T,807 |
| Lo que da la longitud del metro en toesas | 0T,5131214807 |
| o en líneas | 443l,336959 |
| Esta valuación sobrepuja también al metro legal | 0l,041024 |
225. El metro legal resulta en su consecuencia cerca de 44/1000 de línea más corto que la diezmillonésima parte del cuadrante de meridiano deducida de estas dos combinaciones. Y ofreciendo diferencias tan pequeñas las elipses sacadas de una y otra, puede esperarse alcanzar por compensación un cálculo más exacto todavía tornando un término medio aritmético entre los elementos determinantes log a y e. Así es como hemos formado el estado del § 135 que presenta, según el sistema de datos combinados, las dimensiones medias del esferoide terrestre considerado como un elipsoide regular de revolución, haciendo abstracción de sus irregularidades locales. Aplicando este sistema de valores medios a la determinación actual, se hallaría:
| Longitud media del metro en toesas | 0T,5131245534 |
| Longitud media del metro en líneas | 443l,339614 |
Sin poder responder de las últimas decimales que experimentan demasiado el influjo de los errores de las medidas, según se acaba de ver, resulta siempre de esto que, conteniendo el metro legal 443l296, éste es ciertamente un tanto más corto que la diezmillonésima parte del cuadrante de meridiano terrestre supuesto elíptico, lo cual desmiente el carácter teórico que se había esperado poder darle74.
226. Puédese también determinar la longitud del metro por una combinación que dé una influencia predominante al arco de Francia y España; de modo que el resultado viene a ser independiente, o por lo menos depende muy poco de otras operaciones. Para ello, y volviendo a la fórmula que expresa el cuadrante Q de la elipse, hagamos para abreviar,
u = I/4 e2 + 3/64 e4 + 5/256 e6 + 175/16384 e8...
lo que da Q = I/2 pa (1-u);
Tomemos entonces los logaritmos tabulares de los dos miembros, y desenvolviendo el del factor 1-u, tendremos
log Q = log I/2 p + log a-k (u + I/2 u2 + I/3 u3 + I/4 u4...)
Ahora si se forman las cuatro primeras potencias de u, limitándose a comprender en ellas los términos del orden e8, se halla fácilmente
u2 = 1/16 e4 + 3/128 e6 + 49/4096 e8,
u3 = 1/64 e6 + 9/1024 e8
u4 = 1/256 e8
Sólo falta ya multiplicar estas diversas potencias de u por sus respectivos coeficientes 1, I/2, I/3, 1/4, que las afectan en el desarrollo de log (1-n); y sacando los productos, y reuniendo después los términos del mismo orden, le tiene por último
log Q = log I/2 p + log a-k (I/4 e2 + 5/64 e4 + 7/192 e6 + 337/16384 e8...)
Empero, si se designa por D(º) a la longitud de un grado cualquiera correspondiente a la distancia polar d, la expresión de log a hallada en el § 119 da
log a = log (90 D(º))-log (I/2 p)-3/2 k (e2 cos2 d + I/2 e4 cos4 d + I/3 e6 cos6 d + I/4 e6 cos8 d...) + k (e2 + I/2 e4 + I/3 e6 + I/4 e8);
añadiendo esta ecuación a la anterior, log a y log I/2 p desaparecen por compensación; los términos en e2 independientes de cos2 d se destruyen en parte, y después de efectuadas las reducciones aritméticas a que se prestan, queda
log Q = log (90º D(º)) + k (3/4 e2 + 27/64 e4 + 57/192 e6 + 3759/16384 e8...)-3/2 k (e2 cos2 d + I/2 e4 cos4 d + I/3 e6 cos6 d + I/4 e8 cos8 d...)
Si el grado D(º) fuese medido cabalmente a la distancia polar de 45º, intermedia entre el ecuador y el polo, se tendría cos2 d = I/2. Entonces se destruirían mutuamente los dos términos que contienen a la primera potencia de e2; y dependiendo sólo de las potencias superiores de esta cantidad el resto de la corrección que habría que hacer a log (90 D(º)) para tener a log Q, una leve incertidumbre en su evaluación no tendría más que una influencia escasa sobre el resultado total. El arco medio de Francia y España no se halla colocado enteramente bajo esta condición, pero se le aproxima bastante, toda vez que para él se tiene
d = 43º51´54´´;
luego deberá participar evidentemente de la ventaja que acabamos de señalar. Para penetrarse de ello, basta traer a la memoria que se tiene en general
cos2 d = 1 + cos 2 d/2
Sirvámonos de esta relación para transformar sólo el término que contiene a la primera potencia de cos2 d; entonces desaparecerá el término en e2, y nuestra expresión así reducida será:
log Q = log (90 D(º)) + k (27/64 e4 + 57/192 e6 + 3759/16384 e8...)-3/2 k /I/2 e2 cos 2 d + I/2 e4 cos4 d + 1/3 e6 cos6 d + I/4 e8 cos8 d...)
El término que contiene a la primera potencia de e2 no se destruye, pues, completamente; pero quedará muy atenuado si d se diferencia poco de 45º, porque siendo 2 d casi un ángulo recto, cos 2 d será una fracción casi muy pequeña. Por ejemplo, se tendrá para nuestro arco de Francia y España:
2 d = 87º43´48´´ = 90º-2º16´12´´;
| lo cual da | log cos 2 d = 2,5977896 |
| Se tiene además para este mismo arco | log cos2 d = 1,7158396 |
Si se combinan estos valores con el valor medio encontrado más arriba para e2, que da log e2 = 3,8039924, se hallará Suma de los términos positivos de la corrección +0,0000074627. Ídem de los términos negativos -0,0000857304. Exceso de los términos negativos -0,0000782677
Ahora, se tiene por término principal
| D(º) = 57024,64; | log D(º) = 4,7560625522 |
| log 90 = 1,9542425094 | |
| log 90 D(º) = 6,7103050616 | |
| Corrección sustractiva | -0,0000782677 |
| resta | log Q = 6,7102267939 |
| lo que da | Q = 5131292T,7644 |
| De aquí resulta la longitud del metro en toesas | 0,T 51312927644 |
| o en líneas | 443l,343695 |
Este valor, apenas excede al que por término medio habíamos sacado de nuestras dos combinaciones distantes, y depende mucho menos de los errores que han podido cometerse en los cálculos de los grados del Perú y de Laponia; pero también le afectan más particularmente las irregularidades locales que pueden existir en el arco medio de Francia y España.
227. Échase de ver por esta discusión que, tanto por razón de los errores de que son susceptibles las observaciones actuales como a causa de las pequeñas irregularidades que apartan al esferoide terrestre de la forma elíptica rigorosa, no puede responderse con certidumbre de 1/100 de línea en la evaluación del metro teórico, considerado como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. Y si ulteriormente se tiene algún interés en descubrir en ella las influencias de estas dos causas de errores, sólo podrá conseguirse por medio de nuevas operaciones geodésicas y astronómicas, repetidas en partes muy diferentes del esferoide terrestre y ejecutadas con instrumentos mucho más precisos que los que se han empleado hasta ahora.
228. Si se quisiera tener a log a en metros teóricos para una elipse cuya excentricidad fuese e2, se conseguiría inmediatamente haciendo Q = 10000000, o log Q = 7 en la relación logarítmica establecida más arriba entre el cuadrante Q y el semieje mayor a. Efectivamente, si se deduce a log a de esta relación, da
log a = log Q-log I/2 p + k (1/4 e2 + 5/64 e4 + 7/192 e6 + 337/16384 e8...)
Sea pues
log Q = 7,0000000000
Tiénese
log 1/2 p = 0,1961198770
Por consiguiente,
log Q-log 1/2 p = 6,8038801230
Y por lo tanto, estando expresado a en metros teóricos, se tendrá
log a = 6,8038801230 + k (1/4 e2 + 5/64 e4 7/192 e6 + 337/16384 e8...)
Esta expresión concuerda con la que Delambre ha dado en su obra titulada Base del Sistema Métrico, t. III, p. 196. =Sólo que en vez de e2 ha sustituido su valor 2e-e2 en función del achatamiento e. En virtud de las combinaciones que le habían parecido mejor, se había resuelto a hacer
e = 0,00324, lo cual da log e = 3,5105450102
y por consiguiente
e2 = 0,0064695024 de donde log e2 = 3,8108709
Con estos valores se encuentra para log a, en metros teóricos
log a = 6,8045839646.
Para convertir en toesas esta expresión según sus cálculos, es preciso aplicarle el valor que atribuía al metro teórico representado en esta especie de unidades. Ahora pues, en la p. 193 del mismo tomo se ve que, deduciendo el metro de la parte de arco medida por él y Mechain hacia el paralelo de 45º, combinada con el achatamiento 0,00324, había sacado por un cálculo análogo al que nosotros hemos hecho en último lugar la longitud del metro en líneas. 443,328 = 4T,618/9
El logaritmo de esta relación es 1,7102114192
Y añadiéndole al valor de log a en metros teóricos que ha poco mencionamos, se tendrá a log a en toesas según la hipótesis de Delambre, lo cual dará:
log a = 6,5147953838; de donde a = 3271865T,06
Hacemos mérito de estos resultados sólo para indicar que discrepan muy poco de los que hemos obtenido; y en el estado presente de los datos de que puede deducírselos, nadie sería capaz de asegurar de positivo que hayan de preferirse unos a otros.