Visor de obras.

     Las aguas termales adquieren, por su alta temperatura, la propiedad de disolver muchas sustancias minerales que encuentran a su paso, y se designan entonces con el nombre de aguas minerales. Las sustancias disueltas suelen ser, las más de las veces, los ácidos carbónico, sulfhídrico, sulfúrico, o sulfuros, hiposulfitos, sulfatos, carbonatos, cloruros ioduros.

     La abundancia de lluvias o la sequía no modifica, en general, la temperatura de las aguas termales; pero sí lo efectúan los terremotos, pues se ha visto en ciertos casos que, a consecuencia de éstos, se elevaba unas veces, y otras descendía.

     784. Distribución de las aguas en la superficie del globo. -La distribución de las aguas en la superficie del globo ejerce una gran influencia sobre los climas. Las aguas ofrecen una superficie mucho mayor que la de los continentes, y su distribución es muy desigual en los dos hemisferios. En efecto, valiendo la superficie del globo 5 100 000 miriámetros cuadrados, se ve que la de los mares y lagos es de 3 700 000, y la de los continentes e islas de 1 400 000; es decir, que la superficie de las aguas es casi tres veces mayor que la de las tierras. En el hemisferio austral, la superficie de los mares es mayor que en el boreal, en la razón de 13 a 9.

     La profundidad de los mares es muy variable. La sonda llega al fondo, en general, a 300 o 400 metros; pero en alta mar desciende frecuentemente a 1200, y a veces no lo alcanza hasta 4000.

     Según estos números, la masa total de las aguas en la superficie del globo no excede de una capa líquida de 1000 metros de altura capaz de cubrir toda la tierra.

Apéndice

Primera parte

Problemas de física, con solución, dados como temas de composición en la facultad de ciencias de París, desde 1853 a 1860

Problemas sobre los pesos específicos

     En una vasija cilíndrica, cuyo diámetro interior vale 0^m,1, y que se ahoya por su base sobre un plano horizontal, se vierten 12 kilogramos de mercurio, �a qué altura subirá el mercurio en el cilindro, siendo la densidad de aquél 13,596?

     Si se representa por R el radio interior de la vasija, su fondo interno lo estará por p rR², y como, según el enunciado R=5 centímetros, y p=3,141592..., el fondo de la vasija vale 3,141592�25=78cent.cuad.,54.

     Por consiguiente, representando por A la altura a que llega el mercurio en la vasija, el volumen de este líquido es 78cent.cuad.,54�A. Pero, según a fórmula P=VD⁽¹¹⁾, se tiene también V=P/D=12000gr/13,596=882cent.cúb.,612; de modo que resulta 78,54�A=882,612, de donde A=11c,24.

     Un rodillo cilíndrico de madera de roble tiene 0^m,3 de diámetro, 2^m,5 de longitud, y es de 1,17 su peso específico; desea conocerse el volumen y el peso del rodillo.

     Sean R el radio del rodillo, L su longitud y V su volumen. En este caso tendremos

y representado por P su peso, tendremos, según la fórmula P=VD,

     Una copa de forma cónica que cuenta interiormente 0^m,06 de diámetro en el borde, se ha llenado por completo de mercurio, de agua y de aceite, en proporción tal que la capa formada por cada uno de estos líquidos, tiene 0^m,05 de espesor. Se sabe que la densidad del mercurio es de 13,596, la del aceite 0,915 y la del agua 1. Calcúlese el peso del mercurio, del agua y del aceite, despreciando la influencia de la temperatura en la densidad de estos líquidos.

     Según el enunciado, se tiene om=3c (fig. 591), y ok=ki=ia=5. Además, los triángulos oma, kna e ipa son semejantes, y por lo mismo

     Ahora bien, encontrándose el mercurio en la parte inferior, y luego agua y el aceite (89), el volumen del cono abp ocupado por el mercurio, será igual a

p²�ai/3=5c.cúb.,236.

     Los volúmenes del agua y del aceite son troncos de conos que se miden por medio de la fórmula ya conocida p(R²+r²+Rr)�A/3, en la cual R y r son los radios de las bases del tronco, y A su altura. De consiguiente, el volumen de agua

     Conocidos estos volúmenes, se tendrán los pesos pedidos por la fórmula P=VD, multiplicando cada volumen por la densidad correspondiente: resulta, pues, como peso del mercurio 5,236�13,596=71gr,188; el del agua 36,652�1=36gr,652, y el del aceite 99,484�0,915=91gr,027.

     Un paralelepípedo de hielo cuyas dimensiones son 10m,50, 15m,75 y 20m,45, se introduce en el agua de mar. Siendo la densidad del hielo 0,930, y la del agua de mar 1,026, se desea conocer la altura del paralelepípedo sobre la superficie del mar.

     Supongamos el paralelepípedo dispuesto según se ve en la fig. 592, y sean sus tres aristas AD, AC y AD respectivamente iguales a 20m,45, 15m,75 y 10m,50. Como el volumen de un paralelepípedo es igual al producto de sus tres dimensiones, si se representa por V el volumen de toda la masa de hielo, se tendrá, en decímetros cúbicos, V=AB�AC�AD, y su peso será P=AB�AC�AD�0,930.

     Si representamos igualmente por V� el volumen del hielo inmergido, y por P� el peso del agua del mar desalojada, tendremos:

     Pero según las condiciones de equilibrio de los cuerpos flotantes (98), el peso del agua desalojada es igual al peso de todo el cuerpo flotante, y por lo tanto tendremos P=P�, o suprimiendo los factores comunes, AD�0,930=DE�1,026;

de donde se deduce DE=AD�0,930/1,026=105d�0,930/1,026=95dec.,17.

     Por lo tanto, la altura del agua es 105-95,17=9dec.,83.

     La altura interior de un cilindro hueco es de 369 milímetros, y su diámetro de 246, se desea conocer el peso del alcohol que contendrá, siendo 0,863 la densidad de este líquido.

     La fórmula P=VD da P=p R²AD=15kil.,136gr,5.

     Se fabrican con oro, cuya densidad es 19,362, hojas que tienen un diezmilésimo de milímetro de espesor. �Qué superficie se podrá cubrir con 10 gramos de oro?

     Llamando x a la superficie pedida, en centímetros cuadrados, se tiene x�0c,00001�19,362=10gr., de donde se deduce, x=5m.cuad.,16d.cuad.,47c.cuad.

     Dado un cilindro de hierro cuyo peso es de 21 kilogramos y su altura es de 2m,50, siendo la densidad del hierro de 7,778, se quiere determinar el diámetro del cilindro.

     Representando por R el radio del cilindro, su volumen es p R²A, y como su peso es P, resulta p R²AD=P, de donde R=P/p AD; reemplazando las letras por sus valores, se obtiene

     R=21/611,6695=0,0343=0d,18.

     Dos vasijas de formas cónicas y del mismo peso cuentan interiormente 0m,25 de altura, y 0m,12 de diámetro en su borde superior. La una está llena de ácido sulfúrico cuya densidad es 1,84, y la otra de éter, que reconoce por peso específico 0,71. Con estos datos determínese la diferencia de los pesos de las dos vasijas cuando están llenas.

     Tenemos V=p R²A/3=3,1416�36�25c.=942cent.cúb.,48.

     Para el ácido sulfúrico se tiene P=942,48�1,84.

     Para el éter.............................P�=942,48�0,71,

por lo tanto será la diferencia (P-P�)=(1,84-0,71)942,48=1kil.,065gr.

     Dada una esfera hueca de cobre, de 0m,18 de radio, y que contiene una esfera de platino de 0m,05 de radio, de tal suerte que no exista ningún vacío entre las dos esferas, se pide el peso de la masa así formada, sabiendo que la densidad del platino es de 21,50, y la del cobre, 8,85.

     Volumen del platino=4 p r³/3, volumen del cobre=4 p(R³-r³); peso del platino=21,50�4 p r³/3, peso del cobre=8,85�4p(R³-r³). Suma de los pesos =4 p/8(2,.5r³+8,85R³-8,85r³)=4,1888(12,65�5³+8,85�18³)=222kil.,820gr,91.

     La gran pirámide de Egipto es de base cuadrada; el lado de la base es de 234m,8, y la altura era primitivamente de 146m,18 sobre el nivel del suelo; determínese el peso de esta pirámide, admitiendo que sea maciza, y que la piedra de que consta reconozca 2,75 por densidad.

     Se tiene:

y P=(234m,8)²�146,18/3�2,75�1000kil.=7 387 407 475kil.

     Determínese el precio de un tubo de conducción, de hierro fundido, que tenga 0m,245 de diámetro interior, 0m,014 de grueso, y 2134m. de longitud. La densidad del hierro fundido es 7,207, y su precio 0fr,20 el kilogramo.

     V=pA(R²-r²)=3,1416�2134m�0m.cuad.,003626 =24m.cúb., 309dec.cúb., 336c.cúb.; peso=24m.cúb.,309336�7,207�1000 =175197kil.,385gr: precio=35039fr,48.

     Un alambre cilíndrico de plata, de 0m,0015 de diámetro, pesa 3gr,2875: se desea cubrirlo con una capa de oro de 0m,0004 de espesor. Con estos datos determínese el peso del oro que se gastará, sabiendo que la densidad de la plata es 10,47, y la del oro 19,26.

     Sean r el radio del cilindro de plata, y R el radio del mismo cilindro cubierto de oro. Tenemos

     Volumen de la capa de oro =p A(R²-r²)=3,1416�17,768�0,0034=0c.cúb.,189787; por tanto, el peso de oro será igual a VD=3gr,655.

     Se tiene en un tubo capilar una columna de mercurio que, a cero, pesa 1gr, y su longitud es de 0m,137; dígase cuál es el diámetro del tubo, sabiendo que la densidad del mercurio es 13,598.

     Se tiene P=pr²AD, de donde r=P/pAD=1/3,1416�13,7�13,598;

     �Qué esfuerzo exigiría, para sostenerse sobre el mercurio a cero, un decímetro cúbico de platino, suponiendo la densidad de aquel líquido igual a 13,6, y la del platino a 21,5?

     Según la fórmula P=VD, el peso del decímetro cúbico de platino, en kilogramos, es 1�24,5=21kil.,5; por la misma fórmula, el peso del mercurio desalojado por el platino es 1�13,6=13kil.,6. En virtud del principio de Arquímedes, el platino sumergido pierde parte de su peso igual al del mercurio que desaloja; su peso en este líquido es, pues, 21kil.,5-13kil.,6, o 7kil.,9. Tal es, por lo tanto, el esfuerzo necesario para tenerle en suspensión en medio de la masa de mercurio.

     Se emplea, como medida de litro, una vasija cilíndrica que tiene interiormente una altura dos veces mayor que el diámetro de la base. Esta vasija es de zinc, cuya densidad es de 7,19, y sus paredes tienen 0m,005 de espesor; digase cuál es su peso.

     El volumen interior=pr²a=4pr³, puesto que a=4r. Siendo 1 el volumen, se tiene

4pr³=1, de donde r=³ 1/4�3,1416=³ 0,079577=0d,430, y a=1d,72.

     Representando por R el radio exterior, y por v el volumen de zinc que entra en la pared lateral, sin comprender el fondo, resulta

     En cuanto al volumen del fondo, es igual a pR²0d,05-0dec.cúb.,036191; luego el volumen total del zinc es 0,245861+0,036191=0dec.cúb.,282052, y de aquí el peso P=0,282052�7,19=2kil.,027gr,954.

     Una bala de hierro fundido pesa 12 kilogramos; la densidad de este metal es 7,35. Se quiere conocer el radio de esta bala y el peso de oro necesario para formar alrededor de ella una capa de 0,0006 de espesor, siendo la densidad del oro 19,26.

     Según la fórmula P=VD, se tiene V=P/D=12/7,35=1dec.cúb.,63265. Teniendo la bala la forma esférica, su volumen está representado por la fórmula 4pR³/3: tenemos pues 4pR³/3=1dec.cúb.,63265,

de donde R=³ 4,89795/12,56636=0d,730.

     Para calcular el volumen de la capa de oro, sea R� el radio exterior, que es igual a 0d,730+0d,006=0d,736: equivaliendo el volumen V de esta capa a la diferencia entre el volumen total y el de la bala, se tiene

de donde se deduce que el peso del oro es 40cent.cúb.,5515�19,26=780gr,059.

     Determinar los volúmenes de dos líquidos a cuyos pesos específicos son 1,3 y 0,7, sabiendo que si se mezclan, el volumen es igual a 3 litros, y la densidad a 0,9.

     Sean v y v�, los dos volúmenes pedidos: en primer lugar, v+v�=3lit. [1], y por la fórmula P=VD, siendo el peso de cada líquido v�1,3 y v��0,7, se tiene 1,3, v+0,7, v�=0,9�3 [2]. Resolviendo las ecuaciones [1] y [2], sale v=1, v�=2.

     Una lámina triangular de cobre, de 0m,005 de espesor y de 1m,25 de lado, está cubierta de una capa de plata de 0m,00015 de grueso. La densidad del cobre es 8,95, y la de la plata 10,47. Se pide el peso de la lámina así plateada.

     Llamando S la superficie del triángulo, a su lado y V el volumen de la lámina, se tiene

S=a²/4 3=(1m,25)²�1,7321=676dec.cuad.,60cent.cuad.,156;

     Las nuevas décimas pesan 10gr., y están compuestas de una aleación de 0,95 de cobre, 0,04 de estaño, y 0,01 de zinc; la densidad del cobre es 8,85, la del estaño 7,29, y la del zinc 7,12: se pregunta cuántas de estas piezas serían necesarias para proporcionar el metal necesario a la fabricación de una esfera de igual aleación, de 0m,25 de diámetro a cero grados.

     El volumen v de una pieza de 10 céntimos, es, según el enunciado y según la fórmula

     Pero siendo el volumen de la esfera 4pR³/3, el número de piezas es3

     Una copa de forma cónica tiene la cavidad de un litro; en su borde superior cuenta de diámetro 0m,25, está llena de agua y mercurio, siendo iguales las cantidades en peso de ambos líquidos, y la densidad del mercurio 13,598, se pregunta cuál será la altura de la capa formada por el agua.

     Sea V el volumen total del cono, A su altura, R el radio de su base, v el volumen del agua, v� el del mercurio, y d la densidad de éste; se tiene

     Haciendo en la ecuación [1] V=1 y R=0,125, se obtiene A=0,06111; y las ecuaciones [2] y [3] dan v�=0lit.,068502, y v=0lit.,931498.

     Pero siendo semejantes los volúmenes V y v, resulta que son entre sí como los cubos de sus alturas, es decir, que V/v�=A³/a�³, de donde

a�=A³ v�=6c,111 0,068512=2c,4994, y a=A-a�=3c,6116.

     Una de las ramas de un sifón está llena de mercurio hasta una altura de 0m,175, la otra lo está de otro líquido hasta la altura de 0m,42; ambas columnas se hacen equilibrio; se pide la densidad del otro líquido, con relación al mercurio y al agua.

     Representando por d la densidad con relación al mercurio, y por d� la densidad relativamente al agua, se tiene 1�0,175=0,42�d, y 13,6�0,175=0,42�d�; de donde d=0,416 y d�= 5,666.

     Para explotar una mina de sal gema, se ha abierto en un terreno salífero un agujero de sonda, en el cual se ha introducido un tubo de 100 metros de largo, el cual, no llenando exactamente el conducto, sobresale 1 metro del suelo; se introduce 0m,75 en una disolución salina, cuya densidad es 1,3, y se echa agua dulce en el intervalo que separa el tubo de las paredes del agujero practicado por la sonda. Pregúntase a qué altura subirá en el tubo la disolución.

     Representemos el orificio de sonda por AB (fig. 593), por aO el tubo, y por mn el nivel de la disolución salina. Según el enunciado, CO, que es la porción sumergida del tubo, es igual a 0m,75, y la ab, fuera del agua, a 1 metro. De consiguiente, la porción aC tiene una longitud de 98m,25.

     Ahora bien; admitamos que no se mezclen el agua dulce y la salada, y que la disolución salina, en el fondo del agujero de sonda, conserve siempre el nivel mn. Los dos compartimientos iB y aC forman dos vasos comunicantes, y se sabe que en éstos las alturas de las columnas líquidas están en razón inversa de sus densidades (90). Como es 1 la densidad del agua dulce contenida en la parte iB, y b la altura de la disolución salina en el tubo, se tendrá

     Se tiene un vaso cilíndrico cuyo diámetro interior es 0m,25, en el cual se vierten 30 kilogramos de mercurio, cuya densidad es 13,6, y 2 kilogramos de alcohol, cuya densidad es 0,79, y se pregunta a qué altura del vaso se elevarán estos dos líquidos.

     Llamemos R al radio interior del cilindro, x la altura e y a la del mercurio.

     Según la fórmula ya conocida P=VD, se tiene para el volumen del alcohol, P/D=2/0,79, y para la del mercurio, P/D=30/13,6; pero ambos volúmenes están también representados por pR²x y pR²y; se tiene, pues, pR²x=2/0,79, y pR²y=30/13,6: de donde

     Un cilindro de hierro tiene 2m,55 de longitud, y pesa 41 kilogramos; �cuál es el diámetro de la sección perpendicular al eje del cilindro, sabiendo que la densidad del hierro es 7,788?

     La sección es igual a V/A=P/AD=41/7,778�25,5; pero es también igual a pD²/4; luego se tiene

     Una vasija de forma cónica tiene 0m,08 de diámetro en su base, y 0m,12 de altura; su eje está en la posición vertical, y en esta posición se llena la vasija de agua y mercurio en proporciones tales, que el peso del mercurio sea el triplo de el del agua. La temperatura es la de cero, la densidad del mercurio 13,598, y la del agua 1. Determínese el espesor de cada capa líquida.

     Volumen total=1/3pR²H; volumen del mercurio=1/3pr²y; y volumen de agua=1/3p(R²H-r²y) Luego el peso del mercurio es 1/3pr²yd, y el del agua 1/3p(R²H-r²y), lo cual da, según el enunciado, 1/3r²yd=R²H-r²y, de donde y=3R²H/r²(d+3)=R²/r²�3H/d+3. Pero R²/r²=H²/y²=144/y², luego y=144/y²�36/16,598, de donde y=³ 144�36/16,598=0m,0678, y H-y=0m,0522.

     Un triángulo equilátero de acero, de 0m,15 de lado, gira sobre uno de sus lados y se introduce así completamente en un pedazo de mármol cuya densidad es 2,72. El eje de rotación es perpendicular a la superficie del mármol, y el triángulo penetra en éste por su vértice. Se desea saber la pérdida de peso que experimenta el pedrusco en esta operación.

     Habiendo entrado el triángulo en el mármol, como lo indica la figura 595, el volumen quitado es

     Luego la pérdida de peso en el mármol es

     Siendo de 20 kilogramos el esfuerzo que se aplica a una prensa hidráulica, y el brazo de palanca sobre la cual actúa aquél, 5 veces el brazo de la resistencia, y por último, la superficie del gran pistón, 70 veces la del émbolo de la bomba, determínese la presión trasmitida sobre el pistón que oprime el plato de la prensa.

     Representando por F la presión ejercida por la palanca sobre el émbolo menor, se tiene en virtud del principio de las palancas (45), p�1=F�5 [1]; pero siendo P la presión trasmitida al gran pistón, la cual es proporcional a la superficie, se tendrá P=70 p [2]. Sustituyendo en esta igualdad el valor de p, que nos procura la igualdad [1] se obtendrá P=70� 5�F=70�5�20kil.=7000kil.

     Se tiene un cilindro de platino de 0m,02 de altura; se le añade un cilindro de hierro del mismo diámetro. �Qué altura hay que dar al cilindro de hierro para que su base superior enrase con la superficie del mercurio, cuando se sumerjan ambos cilindros en este líquido; y si el diámetro de los cilindros fuera 0m,03, cuál sería el peso del mercurio desalojado? Se parte del supuesto de que la densidad del platino es 21,59, la del mercurio 13,596, y la del hierro 7,788.

     1.� Llamemos D a la densidad del platino, D� a la del hierro, D�� a la del mercurio, a a la altura del cilindro de platino, y x a la del cilindro del hierro.

     Se tiene, pues, suprimiendo el factor común pr², aD+xD�=(a+x) D��, de donde

     2.� Siendo el diámetro del cilindro 3c, se encuentra para el peso del mercurio desalojado

     Se supone que un hombre levanta a la vez 125 balas de cañón del peso de 2 kilogramos: se pregunta cuál sería el número de balas que podría levantar, empleando igual esfuerzo muscular, si la tierra tuviese igual volumen que la luna, todos los demás datos siendo iguales. El radio de la tierra aceptado como unidad, se tomará el radio de la luna igual a 0,37234, y no se tendrá en cuenta el achatamiento de la tierra y de la luna por sus polos.

     Llamemos R al radio de la tierra, y M a su masa; r y m el radio y masa de la luna, P al peso sostenido en la superficie de la tierra, siendo R el radio; P�, el que se sostendría si, quedando la misma la masa de la tierra, fuese su radio r, y P��, el peso que sería sostenido siempre a la superficie de la tierra, si con el radio r tuviese la masa m de la luna.

     Los dos pesos P y P�, siendo, a masa igual, directamente proporcional a los cuadrados de sus distancias al centro de la tierra, se tiene P/P�=R²/r² [1]; por el contrario, estando los pesos P� y P��, bajo distancia igual, en razón inversa de las masas, se tiene P�/P��=m/M, o lo que es lo mismo, bajo igual densidad, tendremos P�/P��=r²/R³ [2]. Multiplicando ordenadamente las igualdades [1] y [2], resulta P/P��=r/R; de donde

luego el número de balas pedido es 918/2=459.

Problemas sobre el principio de Arquímedes, respecto a la densidad de los gases y a la presión atmosférica

     Dado un cuerpo A, que pesa en el aire 7gr,55, en el agua 5gr,17, y en otro líquido B, 6gr,35, deducir las densidades del cuerpo A y del líquido B.

     Según el enunciado, el peso del cuerpo A pierde en el agua 7gr,55-5gr,17=2gr,38, que es el peso del agua desalojada. En el líquido B pierde 7gr,55-6gr,35=1gr,20, que es el peso del líquido B bajo el mismo volumen que el del cuerpo y del agua. Por consiguiente, el peso específico de A es 755/238=3,173, y el de B=120/238=0,504.

     Un trozo de metal pesa en el aire 7gr,234; en el agua 4gr,523; en un líquido A, 5gr,417; en otro líquido B, 3gr,215: sentados estos datos desea conocerse la densidad del metal y de cada uno de los líquidos A y B, con relación al agua.

     Densidad del metal, 2,66; densidad del líquido A, 0,670, y densidad del líquido B, 1,482.

     Se tiene un globo aerostático esférico de 4 metros de diámetro, y se le llena de hidrógeno impuro, que pesa 100 gramos el metro cúbico. El tafetán barnizado que constituye la cubierta pesa 250 gramos cada metro cuadrado. Se pide cuánto hidrógeno se necesitará para llenarle, qué peso podrá equilibrar, sabiendo que cada metro cúbico de aire pesa 1300 gramos.

     Se sabe, en geometría, que el volumen de una esfera cuyo radio es R, está representado por 4pR³/3, y la superficie por 4pR². De consiguiente, siendo V el volumen del globo lleno, y S su superficie, se tiene

     Por lo tanto, el peso del hidrógeno contenido en el globo es, según el enunciado, 100 gramos�33,510=3kil.,351; y el de la cubierta 250 gramos�50,2655=12kil.,566. El peso total del globo, incluso el del hidrógeno y el de la cubierta, es pues,

     Pero el peso del aire desalojado por el globo, y por lo mismo el empuje de abajo hacia arriba (172), es, según el enunciado, 1kil.,300�33,510=43kil.,563. Y por último, el globo puede equilibrar un peso de 43kil.,563-15kil.,917=27kil.,646.

     Un pedazo de madera, cuya densidad es 0,729, tiene la forma de un cono. Se le hace flotar en el agua de manera que su eje quede vertical, ya sumergiéndolo por el vértice, ya por la base. Determínese cuál es la altura de la parte sumergida en el agua, en cada uno de los casos supuestos.

     1.� Llamemos V al volumen total del cono, v la parte sumergida, A y a las alturas de los dos conos, D la densidad de la madera, y d la del agua.

     Siendo de igual peso los volúmenes V y v, están en razón inversa de sus densidades; y se tiene, por consiguiente, V/v=d/D, o bien A³/a³=d/D; de donde a³=A³D/d siendo d=1, y haciendo A también=l, resulta a=³ D=³ 0,729=0,9 de A.

     2.� En la segunda posición del cono, se tiene

haciendo A=1 y d=1. Luego se tiene a=³ 1-0,729=0,647 de A.

     Un areómetro de Baumé para ácidos, tiene una varilla bien cilíndrica; se introduce hasta la 66.� división en el ácido sulfúrico, cuya densidad es l,8. Bajo este supuesto, se pregunta: 1.� �cuál será la densidad del agua salada que sirve para la graduación del instrumento? 2.� �cuál es la relación entre el volumen de una división y el del instrumento hasta el cero?

     1.� Llamemos V al volumen del instrumento hasta el cero de la escala, v el volumen hasta 66% y v� el volumen hasta 15�, se tiene V/v=1,8/1, o bien v+66/v=1,8, de donde v=82,5, y V=148,5; de la igualdad V-v�=15 resulta v�=133,5. Luego la densidad del agua salada nos viene dada por la igualdad V/v�=d/1; de donde d=148,5/133,5=1,112.

     2.� La relación del volumen de una división al volumen del areómetro hasta la división cero es 1/148,5.

     Un globo pesa 254gr,735 cuando está vacío, y 5kil.,422gr,738 cuando está lleno de aire a la temperatura de 4 grados. Se sabe que a esta temperatura el peso del aire es al del agua como 129 es a 100000. Se pide la capacidad del globo. El mismo globo, lleno de otro gas a 4 grados, pesa 651 gr,175, estando la presión a 0m,76; �cuál sería su peso si la presión fuese de 1m,25?

     1.� El peso del aire del globo=5kil.,422gr,738-254gr,735=5kil.,168gr,003. Representando por P el peso del agua a 4� que puede contener el globo, resulta P/5kil.168003=100000/129, de donde P =4006kil.,204. Siendo 1 litro el volumen de 1 kilogramo de agua a 4�, la capacidad del globo es de 4006lit.,204.

     2,� El peso del gas contenido en el globo a la presión de 0m,76 es 651gr,175-254gr,735=396,440; el peso del mismo volumen, a la presión de 0m,01 es 396m,440/76, y a la de 1m,23

     Un globo vacío pesa 150gr,475; lleno de aire, 160gr,158, y de otro gas, 162gr,235. 1.� Siendo invariable la presión, se pide la densidad de este gas con relación al aire. 2.� �Qué corrección tendría que hacerse si la presión hubiese sido de 0m,75 durante la pesada del aire, y de 0m,77 durante la del gas.

     1.� Peso del aire=160gr,158-150gr,475=9gr,683; peso del gas=162gr,235-150,475=11gr,760; de donde la densidad del gas con relación al aire (284), es 11,760/9,683=1,2145.

     2.� La corrección que hay que hacer es reducir el peso del aire y el del gas a la presión de 0m,76. Para esto, siendo el peso del aire 9gr,683 a la presión 0m,75, es 9gr.,683/75 a la presión de 1c, y 9gr.,683�76/75 a la de 0m,76. Se encontrará, de la misma manera que el del peso de gas a esta presión es 11,767�76/75 Luego la densidad buscada es

     Una esfera de platino pesa en el aire 84gr.; en el mercurio sólo 22gr,6. �Cuál es la densidad del platino?

     Pérdida del peso en el mercurio=84gr-22gr,6=61gr,4; de donde la densidad del platino con relación al mercurio es igual a 84/61,4, y la del mismo con relación al agua a 84�13,6/61,4=18,55, siendo 13,6 la densidad del mercurio.

     Se ha pesado a la misma temperatura un pedazo de metal sucesivamente en el aire, en el agua y en un líquido A; se ha encontrado para su peso en el aire 5gr,219; en el agua, 4gr.,132, y en el líquido 5 009. Se pide la densidad del metal y la del líquido A con relación al agua.

     Densidad del metal=4,801; densidad del líquido=0,193.

     Está funcionando el émbolo de una máquina neumática; la capacidad del recipiente es de 7lit.,53, y se encuentra lleno de aire a la presión de 0m,76 y a la temperatura de 0�. Se pide: 1.� el peso del aire cuando la presión esté reducida a 0m,021; 2.� el del aire extraído por el émbolo, y 3.� el del que quedaría en la campana a la temperatura de 15�.

     1.� A 0� y 0m,76 de presión, 7lit.,53 de aire pesan 1gr,3�7,53=9gr,789.

     A 0� y 0m,201 de presión, el mismo volumen pesará 9gr,789�21/760=0gr,270.

     2.� El peso del aire extraído=9gr,789-0gr,270=9gr,519.

     3.� El peso del aire que queda, a 15�, sería 0gr,270/1+0,00366�15=0gr,256 (284, prob. VI).

     Se da un globo cuyo radio es de 1 metro, lleno las tres cuartas partes de hidrógeno; se pide el peso que podría levantar, sabiendo que la densidad del hidrógeno es 0,069, y que un litro de aire pesa lgr,3. El aire y el hidrógeno están a la presión de 0m,76 y a la temperatura de 0 grado.

     Volumen del globo=4pR³/3, cuyos 3/4=4pR³/3�3/4=pR³=3m.cúb.,1416. Pesando 1 metro cúbico de aire de lkil.,300gr. el peso del aire desalojado por el globo es 1kil.,300�3,1416=4kil.,084gr. En cuanto al peso del hidrógeno que llena el globo, es 4kil.,084�0,069=0kil.,281. De consiguiente, el peso que el globo puede levantar, incluso su propio peso, es 4kil.,084-0kil.,241=3kil.,803gr.

     Calcular la fuerza ascensional de un globo esférico de tafetán, que al hallarse vacío pesa 36kil.,620, y que está lleno de hidrógeno impuro, sabiendo que el tafetán barnizado pesa 0kil.,250gr. el metro cuadrado, 1kil.,300gr. el metro cúbico de aire, y 0kil.,100gr. el de hidrógeno.

     La superficie del globo=63k,620/0k,250=254m.cuad.,48. Siendo la superficie del globo la de una esfera, es igual a 4pR²; tenemos, pues, 4pR²=254m.cuad.,48 de donde

R=1/2 254,48/3,1416=1/2 81,0033=4m,50.

     De consiguiente, llamando V al volumen de la esfera, resulta

     El peso del aire desalojado es, pues, 1kil.,3�381,7044=496kil.,216gr.

     El peso del hidrógeno es 0kil.,1�381,7044=38kil.,1704, cuya fuerza ascensional es 196kil.,216-38kil.,l70-63kil.,620=392kil.,426gr.

     Una columna de agua de 1m,55 de altura y otra de un líquido distinto de 3m,17 se equilibran en las ramas de un sifón, siendo 4 grados la temperatura de ambos líquidos; se pide la densidad del segundo con relación al agua, y la altura a que subiría si su temperatura llegase a 25 grados, permaneciendo a 4 grados la del agua, y siendo 1/6000 el coeficiente de dilatación absoluta del líquido.

     1.� Las alturas de las columnas líquidas que se equilibran están en razón inversa de las densidades (90), y por lo mismo se tiene 1m,55�1=3,17�d, de donde d=0,4889, a 4.�

     2.� Representando por a la altura del mismo líquido a 25 grados, por d su densidad a 4 grados y por d� su densidad a 25 grados, se tiene 3m,17�d=a�d� [1], luego d�=d/1+1/6000�25 (281, prob. IV). Introduciendo este valor en la igualdad [1], resulta 3m,17=a/1+25/6000, de donde a=3m,183.

     Siendo 1 la densidad del aire, 0,069 la del hidrógeno, y 1,524 la del ácido carbónico, a 0� grados y a la presión de 0m,76, un cuerpo en el ácido carbónico pierde 1gr,15 de su peso: determínese la pérdida en el aire y en el hidrógeno.

     Se pide también: 1.� si la relación de las pérdidas de peso queda la misma a la temperatura de 200 grados, no variando la presión; 2.� si esta relación queda la misma, a la presión de 30 atmósferas, siendo de 0 grados la temperatura.

     Un litro de aire, a 0� y a la presión de 0m,76, pesa 1gr,3 y uno de ácido carbónico, cuya densidad es 1,524, pesará 1gr,3�1,524=1gr,9812. Se tendrá, pues, el volumen de ácido carbónico que corresponde a 1gr,15, dividiendo 1gr,15 por 1gr,9812, lo cual da por cociente 0lit.,5804. Siendo este volumen el del cuerpo, desaloja éste 0lit.,5804 de aire, y de consiguiente, su pérdida de peso en el aire (172) es 1gr,3�0,5804=0gr,75452. En cuanto a su pérdida de peso en el hidrógeno es 0gr,75452�0,069=0gr,052061. La relación de las pérdidas de peso en el ácido carbónico y en el hidrógeno no permanece rigurosamente la misma cuando cambia la temperatura o la presión, porque no son igualmente dilatables, ni igualmente compresibles estos dos gases (282 y 162).

     El volumen del aire de la probeta de una máquina de compresión es de 137 partes. Por el juego de la máquina se reduce a 25, y el mercurio sube en la probeta a 0m,45: se pide la relación entre la cantidad primitiva de aire del recipiente y la que existe después del experimento.

     Estando el aire de la probeta a la presión de 1 atmósfera cuando su volumen es 137, si se representa por F su tensión cuando el volumen se ha reducido de 137 a 25, se tiene, según la ley de Mariotte, F�25=137�1, de donde F=5atm.,48. En cuanto a la altura del mercurio en la probeta, ella equivale, en atmósferas, a 45/76=0atm.,59. Equilibrando la tensión del aire en el recipiente la presión del aire en la probeta, más la columna de mercurio que en ésta sube, es preciso que dicha tensión valga 5atm.,48+0atm.,59=6atm.,07. Vuelta 6,07 veces mayor la presión del aire en el recipiente, le sucede otro tanto a la masa del aire, y por lo mismo, la relación que se pedía es 1/6,07.

     Un cuerpo pierde de su peso en el aire 7 gramos: �cuánto perdería en el ácido carbónico y en el hidrógeno, sabiendo que sus densidades son respectivamente 1,524 y 0,069?

     Perdiendo el cuerpo 7 gramos de su peso en el aire, pierde, en un gas dos tres veces más denso, dos, tres veces más; luego en el ácido carbónico pierde 7gr�1,524=10gr,688, y en el hidrógeno 7gr�0,069=0gr,483.

     En un recipiente de 3 litros se hacen entrar: 1.� 2 litros de hidrógeno a la presión de 5 atmósferas; 2.� 4 litros de ácido carbónico a la presión de 4 atmósferas; 3.� 3 litros de nitrógeno a la presión de � atmósfera. Se pide la presión final de la mezcla, suponiendo constante la temperatura durante la experiencia.

     La presión=5�2/3+4�4/3+3/2�3=9atm.+1/6.

     La campana de una máquina neumática contiene 3lit.,17 de aire; un barómetro que comunica con la parte superior de la campana, marca cero cuando ésta se encuentra en comunicación con la atmósfera. Se ajusta la campana, y se hace funcionar la máquina: el mercurio se eleva entonces en el barómetro 0m,65. Un segundo barómetro, colocado cerca de la máquina, ha marcado 0m,76 durante todo el experimento. Dígase cuál es el peso del aire extraído, y del que ha quedado en la campana, suponiendo cero la temperatura.

     A 0� y a la presión de 0m,76, el peso del aire contenido en la campana es

     A 0� y a la presión 76-65=11, el peso del aire que queda todavía en la campana es

     Luego el peso del aire extraído de la campana (fig. 597), es 4gr,121-0gr,596=3gr,525.

     El volumen de aire, en la probeta de una máquina de compresión, es igual a 152 partes. Por el juego de la máquina, este volumen se reduce a 37 partes, y se ha elevado el mercurio en el tubo manométrico, a 0m,48. Véase en qué relación se ha aumentado la cantidad de aire en el recipiente de la máquina.

     En la figura 598 se tiene AB=152 partes, AC=37, y BC=0m,48. Ahora bien, la presión del aire en AC es, pues, según la ley de Mariotte, 152/37=4atm.,108=3m,122, puesto que una atmósfera está representada por 0m,76. La presión en el recipiente M, donde se comprime el aire, es, por consiguiente, 3m,122+0m,48=3m,602. Pero como la masa del aire ha aumentado como la presión, la que actualmente existe en el recipiente es 3m,602/0,76=4,7.

     Es decir, que ella se ha hecho 4 y 7/10 veces mayor.

     Sabiendo que la capacidad del cuerpo de bomba de una máquina neumática es 1/3 de la capacidad del recipiente, calcular después de cuántos golpes del émbolo se habrá reducido la presión interior a 1/200 de lo que era primitivamente.

     Representemos por 1 la presión atmosférica, y por 1 el volumen del recipiente. Después de la ascensión del émbolo, este volumen será 1+1/3, y por consiguiente, la presión del aire será debajo del recipiente 1/1+1/3, puesto que está en razón inversa del volumen. Del mismo modo, al segundo golpe del émbolo, será la presión 1/1+1/3, de la que era al terminar el primero; es decir, 1/1+1/3 de 1/1+1/3, o bien 1/(1+1/3)².

     Del mismo modo se encontrará que, después de n golpes del émbolo, la presión es 1/(1+1/3)ⁿ.

     Se tiene, pues,

1/(1+1/3)ⁿ=1/200, de donde (1+1/3)ⁿ=200; o(4/3)ⁿ=200.

     Tomando los logaritmos, resultan n=log.200/log.4-log.3=18,4.

     Un manómetro de aire comprimido está dividido en 110 partes de igual capacidad; cuando la presión exterior es de 0m,76, el mercurio, en el interior del tubo y de la cubeta, permanece en el cero de la escala, se lleva el manómetro debajo del recipiente de una máquina de compresión, y se ve un que el mercurio se eleva hasta la 80.� división; midiendo entonces la altura del mercurio en el tubo, se la encuentra de 0m,45; se pide cuál es la presión en la máquina.

     Sea P la presión del aire en AB (fig. 599); la porción de la escala correspondiente a AB siendo 30, se tiene P/76=110/30, de donde P=2m,787. Añadiéndole la altura de 0m,450 del mercurio en el tubo, la presión total es 3m,237.

     Para reducirla en atmósferas, no hay más que dividir 3m,237 por 0m,76, lo cual da 4atm.+1/4.

Problemas sobre los coeficientes de dilatación

     Observadas dos alturas barométricas, A y B, la una a -10 grados, y la otra a +15; se pide la corrección que deberá hacerse para reducir las dos a lo que hubieran sido a la temperatura de cero, sabiendo que el coeficiente de dilatación cúbica del mercurio es 1/5550. Suponemos que A vale 737 milímetros, y B 763.

     Esta cuestión se resuelve por medio de la fórmula A-a(1+Dt) (278), tomando t con el signo + para la temperatura sobre cero, y con el - para las inferiores al cero. De esta última fórmula se obtiene a=A/1+Dt. Ésta da para el barómetro A,

     Se tiene una barra de 3 metros de un metal, cuyo coeficiente de dilatación es 1/754; otra de 5 metros, de un metal diferente que se dilata respecto a un mismo número de grados, tanto como la primera. Averígüese su coeficiente de dilatación.

     Sea K el coeficiente de dilatación de esta segunda barra, su prolongación total por cada grado será 5�K (267), y el de la primera barra 3�1/754; se tiene

     Se eleva a 64 grados la temperatura de un cuadrado de palastro de 3 metros de lado, desde cero, y se pide a cuánto ascenderá su superficie, sabiendo que el coeficiente de dilatación del hierro es 0,0000122.

     Representando por l el lado dado a cero, por l� el mismo lado a t grados, y por k el coeficiente de dilatación del hierro, se tiene la fórmula conocida (267).

por medio de la cual se encuentra el lado l� a 64 grados, haciendo en ella l=3, t=64, y k=0,0000122, de modo que resulta

     Ahora bien, siendo igual la superficie de un cuadrado al producto de un lado por sí mismo, la superficie en cuestión es (3m,0023424)=9m.cuad.,01d.cuad.,41c.cuad.

     Se quiere fabricar con acero y latón un péndulo compensador, cuya longitud constante sea de 0m,50. Se sabe que el coeficiente de dilatación del acero que se usa es de 0,000010788, y el del latón 0,000018782. Con estos datos deséase conocer la disposición que ha de darse dicho péndulo y las longitudes que requieren las dos barras para que haya la debida compensación.

     Para satisfacer las condiciones de este problema, es preciso: l.� que la varilla del péndulo se componga de un sistema de barras de latón y de acero, dispuestas de modo que su dilatación se origine en sentido contrario; 2.� que las longitudes respectivas del latón y del acero estén en razón inversa de sus coeficientes de dilatación (270). Se satisfacen estas condiciones disponiendo el péndulo conforme ya sabemos (fig. 189).

     Representando por x la longitud total de las barras de acero, y por y la de las de latón, se tendrá, según la ecuación [l] del párrafo 270, x-y=50c [1].

     Además, debiendo encontrarse en razón inversa de los coeficientes las longitudes x e y, resulta x/y=18782/10788 [2].

     Resolviendo las ecuaciones [1] y [2], se encuentra x=1m,1747, e y=0m,6747.

     Una vasija esférica de un radio interior igual a 2/3 de metro, a 0 grados, se ha fabricado con una materia cuyo coeficiente de dilatación lineal vale 1/2500 determínense los kilogramos de mercurio que dicha vasija contiene: 1.� a 0 grados, y 2.� a 25 grados.

     Sean R el radio de la vasija, V su volumen a cero, V� su volumen a t, y K su coeficiente de dilatación lineal; el radio, a t, será R(1+Kt) (267), y se tendrá

     Siendo K=1/2500, los términos que contienen K² y K³. Son bastante pequeños para despreciarlos, y así sale V�=4pR³(1+3Kt)/3.

     Reemplazando R, K y t por sus valores, se tiene

     La densidad del mercurio a 0� es 13,596, y la del mismo cuerpo a 25� es 13,596/1+1/5550�25=13,535 (268). Por lo tanto, el peso del mercurio a 0� es 1241lit.,11�13,596=16863kil.,996, y el peso a 25� es 1278,333�13,535=17302kil.,237gr.

     Una vasija esférica de 0m,25 de diámetro está llena de gas hidrógeno a la temperatura de 35 grados y a la presión de 0m,78. Dígase cuál será el peso del gas y su volumen si la temperatura baja a -5 grados y la presión atmosférica a 0m,74.

     El volumen de la vasija=4pR³/3=4�3,1416�0m,125)³=8lit.,18125. Ahora 1lit. de aire a 0� y a la presión de 0m,76 pesa 1gr,3, y de consiguiente, llit. de hidrógeno, a las mismas temperaturas y presión, pesa 1gr,3 multiplicado por la densidad del hidrógeno, es decir, 1gr,3�0,0692. A la presión de 0m,78, el peso de un litro de hidrógeno es, pues, 1gr,3�0,0692�78/76; y por fin, a esta última presión y a 35�, su peso es 1gr,3�0,0692�78/76(1+0,003668�35) (281, prob. VI); y el del hidrógeno de la vasija 1gr,3�0,692�78�8lit.,181/76(l+0,003668�35)=0gr,6686.

     Para pasar del volumen a 35� al a -5�, se usará la fórmula V�=V(1-a t�)/1+at (281, problema III), dando a t�, el signo -, de modo que el volumen a -5� y a la presión de 0m,74, es

     Una barra formada de un metal cuyo coeficiente de dilatación lineal es 1/754 cuenta dos metros de longitud; determínese la que debería darse a una barra de otro metal, cuyo coeficiente de dilatación es 1/1150, a fin de que su dilatación total, para un grado, sea igual a la de la primera.

     Representando por l la longitud buscada, se tiene l�1/1150=2 �1/754, de donde l=3m,050.

     Una barra de 7m, formada de un metal cuyo coeficiente de dilatación es 1/735, se dilata tanto como otra barra de 9m de un metal distinto: desea conocerse el coeficiente de dilatación de este último metal.

     Sea K el coeficiente de dilatación que se busca, y tendremos:

     El peso de la atmósfera hace subir el mercurio a 0m,76 en el barómetro, a la temperatura de 0 grados; pero desea conocerse: 1.� la altura del mercurio si la temperatura llega a 25�, siendo 1/5550 el coeficiente de dilatación de este líquido; 2.� la altura, a 0�, del alcohol, cuya densidad es 0,79, sabiendo que la densidad del mercurio es 13,6.

     1.� Representando por A la altura del barómetro a 25� y por a la misma a cero, la fórmula A=a(1+t/5550) (278) da A=76(1+25/5550)=76c,34.

     2.� Estando en razón inversa de su densidad las alturas de mercurio y de alcohol que equilibran la presión atmosférica, si se representa por a� la columna de alcohol, resulta

     Supongamos que se haya introducido un barómetro en un ancho tubo, cerrado después por medio de la lámpara, y que al efectuarse esta operación, sea la temperatura del tubo de 13� y la altura del barómetro 76. Con estos datos determínese con una aproximación de 0,0001, a qué altura se elevará el mercurio en el barómetro, cuando sea la temperatura del aire de 30�.

     Contrayéndonos únicamente en un principio a la dilatación del mercurio en el tubo barométrico al pasar de 13 a 30�, tendremos a=76(1+30/5550)/1+13/5550=76�5580/5563; pero como en el tubo cerrado, la fuerza elástica del aire aumenta en la relación de 1+13 a a 1+30 a, la altura barométrica debe aumentar en la misma relación, y tendremos por último,

     Un globo de vidrio a 0� y de una capacidad de 5 litros, lleno de ácido carbónico a 0� y a la presión 76, se calienta a 100, después de haberlo abierto para procurar la salida al gas. Siendo en este caso la presión de 75, determínese el peso del ácido carbónico salido del globo.

     El coeficiente de dilatación del ácido carbónico es 0,00367; la dilatación cúbica del vidrio 1/38700; un litro de aire a 0� y a la presión 76 pesa 1gr,293, y finalmente, la densidad del ácido carbónico, es 1,5.

     A 100� y a la presión 75, el volumen del ácido carbónico vendrá a ser

     A la misma temperatura el volumen del globo es 51+(100/38700)=5lit.,013; por consiguiente, el volumen del gas que ha salido del globo será de 6,926-5,013=1lit.,913.

     Para obtener el peso de este gas, sabiendo que los 5 litros de ácido carbónico a 0� y a 76 pesan 1gr.,293�5�1,5=9gr,697, y que por consiguiente, los 6lit.,926 a 100 y a 75 deben tener un peso de tanto, se planteará la proporción x/9gr.,697=1lit.,916/6,926, de la cual se obtiene

     Es sabido que en un termómetro de mercurio cada división es 1/6480 de la capacidad del receptáculo hasta el cero de la graduación: sentado esto, si se vacía dicho instrumento y se le introduce hasta el cero en el hielo fundido, lleno de un líquido cuyo coeficiente de dilatación sea 1/2000 determínese hasta qué división se elevará el líquido en cuestión a los 20�, sabiendo que el coeficiente de la dilatación cúbica del mercurio es 1/38700.

     El coeficiente de dilatación aparente del mercurio en el vidrio siendo 1/6480, es el del líquido propuesto 1/2000-1/38700; y como las alturas a y la de 20, que alcanzan respectivamente el líquido y el mercurio en el termómetro, son evidentemente proporcionales a las dilataciones aparentes, se tendrá:

     Una vejiga de paredes flexibles contiene 4 litros de aire a 30� y a la presión 76: permaneciendo constante la presión de la atmósfera, determínese cuál será el volumen del aire, si se desciende la vejiga a la profundidad de 100 metros en un lago cuya temperatura sea de 4�.

     Sabemos que una columna de agua de 10m,33 a 4� representa una atmósfera (151), y por lo tanto la columna de agua de 100 metros se convertirá en atmósferas, dividiendo 100 por 10m,33, operación que nos da por cociente 9m,68. La vejiga en el fondo del agua, se encuentra expuesta por los datos, a una presión de 10atm.,68, y el problema puede formularse como sigue: �teniendo 4 litros de aire a 30� y a 1atm. de presión, cual será el volumen a 4� y a 10atm.,68?

     En un globo de vidrio cuya capacidad a 0� es de 250c.cúbicos, se introduce cierta cantidad de aire seco, capaz de ocupar 25c.cúbicos a 0�, y a la presión 76. Cerrado el globo y calentado a 100�, determínese la presión interior.

     Sabemos que el coeficiente de dilatación del aire es 0,00367, y la dilatación cúbica del vidrio 1/38700. A 100� la capacidad del globo es, 250(1+100/38700)=250,388/387. A 100� y a la presión 76, sería el volumen de aire libre 25(1+0,00367�100)=25�1,367, siendo así que su volumen real es 250�388/387 a una presión desconocida x.

     Así pues, al volumen 25�1,367 corresponde la presión 76

                      al volumen           1                   -                                   76�25�1,367

                   y al volumen 250�388/387        -                                  76�25�1,367�387=10c,36.

     Un areómetro de Fahrenheit pesa 80gr, y cuando se carga con 45gr. enrasa en un líquido cuya temperatura es de 20� y cuya densidad a la misma temperatura es 1,5. Determínese el volumen a 0� de la parte sumergida del instrumento que nos ocupa.

     El peso del líquido desalojado es 80gr+45gr=125gr, y su volumen a 20�, es P/D=125/1,5.

     Tal es, por lo tanto, a esta temperatura, el volumen de la parte sumergida, y (267) el volumen a 0� será 125/1,5�1/1+0,00002584�20=83cent.cúb.,290, siendo el coeficiente de la dilatación cúbica del vidrio 0,00002584.

     Un cuerpo pesado en el aire a 0� y a la presión 76, pierde 6gr,327 de su peso: se desea conocer: 1.� el volumen del cuerpo; 2.� su pérdida de peso a 15� y a la presión 1m,25.

     Sabemos que la densidad del aire relativamente a la del agua es de 1/770; que su coeficiente de dilatación es 0,00366, y que se desprecia la dilatación del cuerpo.

     1.� El peso de un decímetro cúbico de agua pesa 1000gr, el mismo volumen de aire a 0� y a 76, pesa 1000/770=100/77. Así pues, el volumen de aire desalojado, y por consiguiente el volumen del cuerpo es de 6gr,327:100/77=6,327�77/100=4dec.cúb.,872.

     2.� Para determinar la pérdida del peso a 15� y a la presión 125�, es preciso investigar el peso de 4lit.,872 de aire a dicha temperatura y a la presión fijada, cuyo peso será 100/77�4,872�125/(1+0,00386�15)76=9gr,87: tal será la pérdida del peso que se buscaba.

     Un tubo cilíndrico de vidrio, cerrado por su parte inferior y lustrado con mercurio, se sumerge los 3/4 de su longitud en el agua a 4�; dígase la cantidad de la cual se sumergirá en el agua a 20�. -Sabemos que de 4 a 20�, se dilata el agua de 0,00179 de su volumen, y que el coeficiente de dilatación cúbica del vidrio es 1/37700.

     Siendo la densidad del agua a 4� de 1, a 20� se encontrará en razón inversa del volumen que haya adquirido el agua, es decir, de 1/1,00179, y hallándose la parte sumergida del tubo en razón inversa de la densidad, tendremos

     �Cuál es a 10�,8 la pérdida de peso que experimenta en el aire un cuerpo cuyo volumen a dicha temperatura es de 5182m.cúb., y cuál sería a 25�,13 la pérdida del mismo cuerpo, sabiendo que su coeficiente de dilatación lineal es 1/2400?

     A 10�,8 la pérdida de peso es de 1gr,293�1000�6182/1+0,00367�10,8=6445kil.,1.

     A 25�,13 el volumen del cuerpo es 5182(1+3�25,13/2400)/1+3�10,8/2400; y por consiguiente, será su pérdida de peso

     Un globo vacío pesa 137gr,435; lleno de aire, 145gr,237; de otro gas, 152gr,118. Se pide: 1.� la densidad del gas con relación al aire, no variando la presión ni la temperatura; 2.� la misma densidad en el caso en que la presión hubiese sido de 0m,75 durante la pesada del aire, y de 0m,77 durante la del otro gas; 3.� la corrección que debería hacerse si la temperatura hubiese sido de 8 grados cuando se pesaba el aire, y de 11� mientras se hacía lo mismo con el otro gas.

     1.� 145,237-137,435=7gr,802; 152,118-137,435=14gr,683; densidad del gas=

     2.� El peso del aire a 0c,75 de presión es 7gr,802; a la de 76c es 7,802�76/75; el del gas, a la presión 76, es 14,683�76/77; luego, la densidad del gas, en el segundo caso, es

     3.� Sería preciso reducir el peso de los dos gases a cero, multiplicando el peso del aire por 1+0,00366�8, y el del gas por 1+0,00366�11.

     Siendo la dilatación lineal del hierro 0,0000122 de su longitud a cero, por cada grado de calor, �cuál sería a 60 grados la superficie de un disco circular de palastro que, a cero, tiene 2m,75 de diámetro?

     S=pR²(1+kt)²=3,1416�(1m,375)²(1+0,0000122�60)²=5m.cuad.,94d.cuad.,83c.cuad.

     Dada una barra de plomo que se dilata tanto como una de acero de tres metros de longitud, y sabiendo que el coeficiente de dilatación del plomo es 1/351, y el del acero 1/327; determínese la longitud de la barra de plomo.

     A qué temperatura pesa un litro de aire seco 1 gramo, bajo la presión de 0m,77 siendo el coeficiente de dilatación del aire 0,00366, y el peso de un litro de aire seco, 0� y a la presión de 0m,76, 1gr,293.

     Se tiene 1,293�77/(1+0,00366�t)76=1gr., de donde t= 86�.

     Siendo el peso específico del mercurio a 0�, 13,59, se desea saber cuál será a 85� el volumen de 30kil. de este metal. Se tomará para coeficiente de dilatación del mercurio 1/5550.

     El volumen a cero es P/D=30/13,59, y por lo tanto, el volumen a 85� será

     La relación entre el peso específico del cobre a cero, y el del agua a 4�, es 8,88. El coeficiente de dilatación cúbica del cobre es 1/58200, y la fracción que representa la dilatación total del agua entre 4� y 15� es 1/1360. Bajo este supuesto, se pregunta cuál será, a 15�, la relación de los pesos específicos de estos dos cuerpos.

     Siendo 1 el peso del agua a 4�, a 15� será 1/1+11/1360 (268, prob. IV).

     A cero el cobre pesa 8,88, a 15� pesará 8,88/1+15/58200. Luego el peso específico del cobre a 15� será

     Se tienen dos termómetros de mercurio construidos con el mismo cristal; el uno tiene una esfera cuyo diámetro interior es 0m,0075, y un tubo cuyo diámetro interior es 0m,0025; el otro una esfera de 0m,0062 de diámetro, y un tubo de 0m,0015 de diámetro interior. Se desea saber cuál es la relación de longitud de un grado del primer termómetro y uno del segundo.

     Sean A y B los dos termómetros dados, D y D� los diámetros de las esferas, d y d�, los diámetros de los tubos. Si se concibe un tercer termómetro, C que tenga igual reservatorio que B e igual tubo que A, y si representamos por l, l�, l�� las longitudes respectivas de un grado en los tres termómetros, se tienen las proporciones:

multiplicándolas ordenadamente se tiene:

     Sustituyendo las letras por sus valores, se tendrá

Problemas sobre los calóricos específicos

     En 25kil.,45 de agua a 12�,5, se introducen 6kil.,17 de un cuerpo a la temperatura de 80 grados; la mezcla mide 14�,17; se pide el calórico específico de este cuerpo.

     Representando por c el calórico específico que se pide, sale (347)

     La capacidad calorífica del oro es 0,0298, sirviendo de unidad la del agua dígase qué cantidad de este metal se necesita, a 45 grados, para hacer ascender de 12�,3 a 15�,7, la temperatura de 1kil.,000gr,58 de agua.

     Sea x el peso que se busca en kilogramos. Según la fórmula conocida m(t�-t)c (346), el calor que el oro cede al enfriarse de 45 grados a 15�,7, es x (45-15,7)0,0298, y el que el agua absorbe al calentarse de 12�,3 a 15�,7, es 1kil.,00058 (15,7-12,3). Siendo necesariamente igual la cantidad de calor que el oro cede a la que el agua absorbe, tenemos

     Se introduce en 2 litros de agua a 4 grados una esfera de platino de 0m,05 de radio a 95 grados; dígase cuál será la temperatura del agua, cuando se haya establecido el equilibrio. La capacidad calorífica del platino es 0,0324, su coeficiente de dilatación 0,000008842, y su densidad 22,07.

     Sean V� el volumen de la esfera a 95 grados, y V el mismo a cero; tenemos

     El peso de la esfera de platino es, pues, P=523cent.cúb.,158�22,07=11kil.,546gr.

     De consiguiente, la masa de platino, al enfriarse de 95 a x grados, cede, según la fórmula m(t�-t)c (346), una cantidad de calor igual a 11kil.,546�(95-x)�0,0324, y los dos litros de agua, al calentarse de 4 a x grados, absorben 2�(x-4).

     Tenemos, pues, 2(x-4)=11,546�0,0324(95-x); de donde x=18�,3.

     Un globo esférico de 0m,14 de radio está lleno de mercurio a 70 grados; se vierte éste en agua a 4 grados, que llena hasta la mitad una vasija cilíndrica de 0m,40 de altura y 0m,20 de radio. Se sabe que la capacidad calorífica del mercurio es 0,0330. Determínese la temperatura de la mezcla, despreciando la de las paredes de la vasija.

     Sean V el volumen del globo, y R su radio, se sabe, en geometría, que el volumen de la esfera es V=4pR³/3. Tendremos, pues, según los datos del problema,

     Si se toma como densidad del mercurio 13,6, se tendrá su densidad a 70 grados por la fórmula d�=d/1+Kt (268), la cual da d�=13,6/1+70/5550=13,4306.

     De consiguiente, el peso del mercurio del globo es

     El semi-volumen del cilindro es igual a pR²A/2=3,141592�4�4/2=25d.cúb.,133, y el peso del agua que contiene es 25kil.,133.

     Ahora bien, si se representa por q la temperatura de la mezcla, el agua ha absorbido una cantidad de calor representada por 25kil.,133(q-4) y la cedida por el mercurio, por 154,371�0,033(70-q), según las fórmulas del párrafo 346. Tenemos, pues, la ecuación 154,371�0,033(70-q)=25,133(q-4); de donde q=15�,12.

     Calcular el poder calórico del esterio de leña que pesa 400 kilogramos, y que se compone de una mezcla de madera de roble y de abeto, sabiendo que el metro cúbico de la primera pesa 450 kilogramos, y 325 el de la segunda; y que la cantidad de agua que sube de 0� a 100� por la combustión de un metro cúbico de leña, es 12150 kilogramos para el roble, y 8775 kilogramos para el abeto.

     Sean x el volumen de roble que entra en el esterio, e y el de abeto, tendremos x+y=1 [1].

     Pesando 450 kilogramos un metro cúbico de roble, el volumen x pesa 450 x; y el volumen y de abeto 325 y; de modo que 450x+325y=400 [2].

     Resolviendo las ecuaciones [1] y [2], sale x=3/5 e y=2/5.

     Siendo el poder calorífico de un metro cúbico de roble 12150, el del volumen x es 12150�3/5, y el de y es 8775�2/5; de modo que el poder calorífico que se pide es

     Un vaso metálico que pesa 350 gramos, contiene 32kil.,50 de agua a 12�,5; el calórico específico del metal es 0,12, y el del agua 1; arrojando en el agua de dicho vaso 8kil.,25 de otro metal a 60�,5, se eleva la temperatura del agua a 15�,4, se desea conocer el calórico específico del último metal.

     Tenemos, según la fórmula conocida (347), c=(m+m�c�)(q-t)/M(T-q), en la cual reemplazando se deduce c=(32ki1.,5+0kil.,35�0,12)(15�,4-14�,5)/8kil.,25(60�,5-15�,4)=0,0787.

Problemas sobre los calóricos latentes

     �Cuántos kilogramos de hielo a cero se necesitarían para hacer subir a 10� grados centígrados el agua de un pilón de borde circular y de fondo horizontal, cuya circunferencia superior fuese de 8m,30, la inferior de 6m,15, y la altura de 1m,76; estando el pilón lleno de agua hasta la mitad de su altura, y el agua del mismo a 30 grados?

     Sean R el radio OB (fig. 600) de la base superior, r el CD de la interior, r� el medio IE y a la altura IC del líquido del pilón. Según el enunciado

     Siendo el volumen V del líquido el de un tronco de cono, cuya altura es a, y los radios de las bases r y r�, tenemos, según un teorema de geometría muy conocido, V=pa/3(r�²+r²+rr�); y reemplazando las letras por sus valores

     Efectuando los cálculos, V=3m.cúb.,138,583, volumen que representa un peso de agua de 3138kil.,583gr.

     Sea ahora x el peso de hielo necesario para enfriar dicha masa de agua de 30 a 10 grados. Como se ha visto (355) que al fundirse un kilogramo de hielo absorbe 79 unidades de calor, x kilogramos de hielo absorben 79x, para dar x kilogramos de agua a cero. Según los datos de la cuestión, debe pasar esta última masa a 10� grados, y absorbe además una cantidad de calor igual a 10x (346). Por otra parte, el calor que cede el agua es igual a 3138kil.,583�(30-10), o 62771,6. Tenemos, pues, la igualdad

     Investigar los kilogramos de vapor de agua que se necesitan para elevar un baño de 246 kilogramos de agua de 13 a 28 grados, sabiendo que el calor latente del vapor de agua es 540.

     Sea x el peso del vapor que se busca, 1 kilogramo de vapor que se condensa para dar uno de agua a 100 grados, cede 540 unidades de calor; luego x kilogramos cederán 540�x; además, los x kilogramos de agua que se forman, al enfriarse en seguida de 100 a 28 grados, ceden a su vez un número de unidades representado por (100-28)x (346). Los 246 kilogramos de agua que constituyen el baño en que se condensa el vapor, al calentarse entonces de 13 a 28 grados, absorben una cantidad de calor igual a 246 (28-13). Tenemos, pues, la ecuación 540x+(100-28)x=246(28-13), o (540+72)x=246�15; de donde x=6kil.,029gr.

     Una cuba cilíndrica, de fondo plano y horizontal, tiene 1m,30 de diámetro y 0m,75 de altura interiormente: está medio llena de agua a 4 grados, y se calienta este líquido haciendo que llegue el vapor a 100 grados producido por 5kil.,250 de agua. Dígase la temperatura y el volumen a que llegará el baño así calentado.

     Despreciaremos la temperatura de la vasija, y aceptaremos 1/2200 como coeficiente de dilatación del agua.

     El volumen del agua=pR²�A/2=3,1416�(0m,65)²�0m,75/2=497lit.,747. Siendo q la temperatura final, y 540 el calórico de vaporización del agua, resulta (357, prob. V).

     El volumen total de agua, después de la condensación, sería, a 4 grados,

     Suponiendo igual a 540 el calor latente del vapor de agua, determínese la temperatura a que subirán 20 litros de agua a 4 grados, condensando en ella 1 kilogramo de vapor a 100 grados y a la presión de 0m;76.

     Sea q la temperatura final, el calor que cede 1 kilogramo será de 540, y el que emite el agua que resulta de la condensación, será 100-q, y tendremos, pues, 540+100-q=20(q-4), de donde q=34�,28.

     �Cuántos kilogramos de hielo a 0� son necesarios para la liquefacción y descenso a cero de 25 kilogramos de vapor desprendidos de un aparato en el cual el termómetro marca 100� y el barómetro 0m,76? Se tiene

     �Cuánto vapor de agua, a 100�, se necesita para elevar de 8� a 25� el agua contenida en una cuba cilíndrica de fondo plano, de 1m,25 de radio, y que forme una capa de 0m,75 de altura?

     El volumen del agua es pR²A=3681kil.,562. Si se representa por P el peso buscado, se tendrá

     Se han mezclado once kilogramos de hielo a 0� con P kilogramos de agua a 45�, la mezcla ha tomado la temperatura de 12�: se desea saber el peso P.

     Se tiene

     En cierta cantidad de agua a 14�, se han condensado 25 kilogramos de vapor de agua hirviendo a la presión ordinaria de la atmósfera, y habiéndose elevado la temperatura del agua a 61�,4, calcúlese el peso de esta agua, despreciando el calor empleado en calentar la vasija. Se sabe, además, que el calórico latente del vapor acuoso es 530.

Problemas sobre los vapores

     En una vasija vacía, de 2lit,02 de capacidad, se ha introducido primero 1 litro de aire seco a la presión de 0m,76, y luego agua en tal cantidad que quedan definitivamente 20 centímetros cúbicos en el estado líquido. Dígase cuál es la presión interior, suponiendo que la temperatura sea de 30� al hacer el experimento, y que la tensión máximum del vapor de agua, a esta temperatura, sea de 0m,031.

     Reducida la capacidad del globo de los 20 centímetros de agua que en ella quedan en el estado líquido, sólo existen en realidad 2lit.,02-0lit.,020=2lit. Se ha doblado, pues, el volumen de aire, y de consiguiente, su tensión, que era 0m,76, no es más que 0m,38, según la ley de Mariotte. Agregando a esta presión la del vapor, que es de 0m,031, resulta 0m,411, para la presión interior.

     Cierta cantidad de aire pesa 5gr,2, a la temperatura de 0� y presión de 0m,76. Se la calienta a 30� a la presión de 0m,77, permitiéndole que se sature de vapor de agua. Se pide el volumen que entonces ocupará. La tensión máxima del vapor a 30� es 0m,0315, y se tomará 1gr,3 como peso del litro de aire seco a la temperatura de 0� y a la presión de 0m,76.

     Pesando 1gr,3, un litro de aire seco, el volumen que corresponde a 5gr,2, es 5,2/1,3=4 litros, a 0 grados y a la presión de 0m,76. A 30�, el volumen es, pues, 4(1+0,00366�30); volumen que, a la presión de 0m,77, sería 4�(1+0,00366�30)76/77, estando seco el aire. Pero cuando se halla éste saturado de vapor, cuya tensión es 0m,0315, esta tensión, más la fuerza elástica del aire, son las que, en virtud de la segunda ley de las mezclas de los gases y de los vapores (323), equilibran la presión de 0m,77-0m,0315, y de consiguiente, el volumen que se pide es 4�(1+0,00366�30)76/77-3,15=4lit.,68.

     El peso de un litro de aire a 0� y presión de 0m,76, es 1,299, y la densidad del vapor de agua es 5/8 con relación al aire. Bajo este supuesto, se pide cuál es a 30� y a la presión de 0m,77, el peso de un metro cúbico de aire cuyo estado higrométrico es la tensión máxima del vapor a 30� siendo 0m,0315.

     Observemos desde luego que siendo la tensión del vapor saturado 0m,0315, esta tensión no es más que los 3/4 de 0m,0315, cuando el vapor se encuentra en el estado higrométrico 3/4. Además, el aire cuyo peso se desea conocer, no se encuentra según la ley de las mezclas (323), a la presión 77, y sí a ésta menos la del vapor, es decir, a la presión

     Por lo tanto, el problema se reduce a investigar el peso de un metro cúbico de aire seco a 30� y a la presión (0m,77-3/4, 0m,0315), después el de un metro cúbico de vapor a 30� y a la tensión 3/4, 0m,0315, y por último, en efectuar la suma de los dos pesos.

     l.� A 30� y a la presión 0m,77-3/4. 0m,0315=0m,7464, un metro cúbico de aire seco pesa

     2.� A 30� y a la presión 3/4, 0m,0315, un metro cúbico de vapor pesa:

     Efectuando la suma de las fórmulas [1] y [2], se obtiene para el peso pedido,

1293gr/(1+30 a)�7674c,84+3,15�5�3/8�4=1169gr,6.

     Se tienen 3 litros de aire a 30� y A la presión 76, cuyo estado higrométrico es 3/4. Dígase en qué se trasformará este volumen de aire, a la misma temperatura y a la misma presión, si se agita con el ácido sulfúrico concentrado, y cuál será el aumento de peso que adquirirá el ácido sulfúrico.

     La tensión máxima del vapor a 30� es 0m,0315, y la densidad del vapor con relación al aire es 5/8.

     La tensión máxima, siendo 3c,15, al estado higrométrico 3/4, será 3/4 de 3c,15=2c,36; de donde se deduce que los 3 litros de aire húmedo se encuentran a la presión 76-2,36=73,64. Por lo tanto, se trata de investigar en lo que se trasformarán los 3 litros al pasar de la presión 73,64 a la de 76, lo cual nos da para el volumen que se busca: 3�73,64/76=2lit,906.

     Respecto al peso de los 3 litros de vapor a 30� y a la presión 2,36, es de

Apéndice

Segunda parte

Problemas escogidos por el autor

     I. -�Cuál será en París la longitud del péndulo, para que cada oscilación dure siete segundos?

     De la fórmula T=p l/g (59), se deduce l=g�T²/p²=9,8088�49/(3,1416)²=48m,69.

     II. -�Cuál es la intensidad de la gravedad en el ecuador, donde la longitud del péndulo, que bate segundos es 0m,991?

     La fórmula T=p t/g da g=p²�l/T³=(3,1416)²�0,991=9m,7808.

     III. -Siendo 7 el peso específico del zinc y 9 el del cobre, �qué cantidades de estos dos metales deberán tomarse para formar una aleación que pese 50 gramos, y cuyo peso específico sea 8,2 admitiendo que el volumen de la aleación sea exactamente igual a la suma de los volúmenes de los metales aleados?

     Sean x e y los pesos de zinc y de cobre pedidos.

     Tenemos primero x+y=50 [1]; y según la fórmula P=VD, que da V=P/D, los volúmenes de los dos metales y de su aleación son respectivamente x/7, y/9 y 50/8,2; de consiguiente

     Resolviendo las ecuaciones [1] y [2], sale x=17,07, e y=32,93.

     IV. -Un cono de hierro ASB (fig. 601) se introduce en mercurio por su vértice: determínese la relación de la altura del cono inmergido OS a la total CS, sabiendo que la densidad del hierro es d, y la del mercurio d�.

     Sean a la altura total SC, a� la SO, R y r los radios CB y KO. El volumen del cono grande es pR²a/3, y su peso pR²ad/3, según la fórmula P=VD. De igual manera el volumen del cono sumergido es pr²a�/3, y de consiguiente, el peso del mercurio desalojado por el cono de hierro es=pr²a�d�/3. Pero estos pesos deben ser iguales (98); de modo que, suprimiendo el factor común p/3, sale R²ad=r²a�d�; de donde a�/a=R²/r²�d/d� [1].

     Mas los triángulos BCS y KOS son semejantes, por lo que R/r=a/a�. Anotando este valor de R/r en la igualdad [1], resulta

y extrayendo la raíz cúbica de ambos miembros, resulta al fin a�/a=³ d/³ d�; es decir, que las alturas de los dos conos están en razón inversa de las raíces cúbicas de las densidades del cuerpo sumergido y del líquido, sea cual fuere el ángulo en el vértice del cono.

     V. -Una regla de platino de 2 metros de longitud se encuentra dividida, por una de sus extremidades, en cuartos de milímetro; y otra regla de cobre de 1m,950 aplicada encima a cero, difiere de ella 0m,050, es decir, 200 divisiones de la regla de platino. Desea conocerse la temperatura común a las dos reglas, cuando sólo difieran 164 divisiones de la de platino, siendo el coeficiente de dilatación de éste 0,000008842, y el del cobre 0,000017182.

     La longitud de la regla de platino, que tiene 8000 divisiones, a cero, es

     La regla de cobre, que vale 7800 divisiones, a cero, valdrá a t grados

     En fin, las 164 divisiones aparentes, equivalen en realidad a

     Tenemos, pues,

     VI. -Deseando comparar la intensidad de una lámpara Cárcel con la de una bujía, por medio del fotómetro de Rumford fig. 262, se ve que las sombras tienen igual intensidad en la pantalla, cuando de ella dista 2 metros la bujía, y 4m,74 la lámpara. �Cuál será la intensidad de ésta, tomando como unidad la de la bujía?

     Siendo I la intensidad de la lámpara a la unidad de distancia, a la distancia de 4m,74, será I/(4,74)² (422); de igual manera la de la bujía, que es 1 a la unidad de distancia, será 1/4 a la de dos metros. Pero a estas distancias son iguales las intensidades; luego

     VII. -Una lámpara y una bujía distan entre sí 3m,15, y siendo 1 la intensidad de la luz de la bujía a la unidad de distancia, la de la lámpara es 5,6: �a qué distancia de la lámpara, en la línea recta que une las dos luces, debe colocarse una pantalla para que esté igualmente iluminada por ambas, sabiendo que la intensidad de una luz está en razón inversa del cuadrado de la distancia?

     Sea x la distancia a la cual la pantalla debe colocarse de la lámpara: su distancia de la bujía será 3m,15-x. Ahora bien, la intensidad de la lámpara, que es 5,6 a la unidad de distancia, es 5,6/x² a la distancia de x; y siendo 1 la de la bujía a la misma unidad de distancia, es 1/(3,14-x)² a la distancia 3,15-x. Pero entonces las intensidades son iguales; luego

y extrayendo la raíz, 3,15-x/x=�5/28=�0,422; de donde se deducen los dos valores x=2m,21 y x=5m,45. El primero corresponde a un punto situado entre las dos luces; y el segundo da un punto en la prolongación de la recta que los une.

     VIII. -Delante de un espejo esférico cóncavo de 0m,95 de radio, se coloca, a la distancia de 3m,4, un objeto BD (fig. 282), cuya altura es de 0m,12; determínese la distancia de la imagen al espejo y su tamaño.

     Este problema se resuelve por la fórmula 1/p+1/p�=2/R, dada en óptica (439), en la cual p representa la distancia del objeto al espejo, p�, la de la imagen, y R el radio de curvatura del espejo. Según el enunciado, tenemos, en centímetros, p=340 y R=95; sustituyendo estos 2 valores en la ecuación anterior, resulta 1/340+1/p�=2/95, y quitando los denominadores, se halla

     Para calcular el tamaño bd de la imagen, debe tenerse presente lo dicho en el párrafo 441, en el cual se ha visto que los triángulos BDC y Cdb (fig. 282) son semejantes, y por lo mismo bd/BD=Co/CK, de donde bd=BD�Co/CK. Por hipótesis, se tiene,

y según el valor de p�, resulta Co=CA-Ao=95c-55c,2=39c,8, así pues,

     IX. -Se forma una aleación de dos metales cuyos pesos específicos son D y D�: investíguese el de la aleación, sabiendo que el volumen de ésta ha sufrido una contracción igual a 1/m de la suma de los volúmenes componentes, y siendo respectivamente P y P�, los pesos de los dos metales.

     Según la fórmula P=VD, que da V=P/D, los volúmenes de los dos metales aleados son respectivamente P/D y P�/D�, y la m^ésima parte de la suma es 1/m(P/D+P�/D�); de consiguiente, el volumen de la mezcla es

     Pero, representando por d el peso específico que se busca, el volumen de la aleación será

de donde se deduce,

     Si en vez de una contracción de la aleación, surgiese una dilatación, se encontraría, por medio de un cálculo análogo,

     X. -Habiendo mezclado 18 kilogramos de ácido sulfúrico con 8 de agua, determínese el peso específico de la mezcla, sabiendo que el del agua es 1, el del ácido sulfúrico 1,84; y suponiendo que el volumen de la mezcla ha sufrido una contracción de 1/32.

     Con la fórmula [A] del problema anterior sale

     XI. -Se funden a la vez P kilogramos de un metal cuyo peso específico es D, con P�, kilogramos de otro metal que tiene por densidad D�: siendo d el peso específico de la aleación, dígase si ha habido contracción o dilatación, indicando el valor del 1/m del coeficiente de ésta o de aquélla.

     La fórmula [A] del problema IX, que corresponde a la contracción del volumen de la aleación, resuelta con relación a m, nos da m=(PD�+P�D)d/(PD�+P�D)d-(P+P�)DD� [C].

     La cantidad m, que es el denominador del quebrado de contracción, es necesariamente positiva, pues si no el coeficiente sería negativo, lo cual carecería de sentido: es preciso para que haya contracción, que se tenga (PD�+P�D)d>(P+P�)DD�, o d>(P+P�)DD�/PD�+P�D.

     Dividiendo numerador y denominador por DD�, esta última fórmula adquiere la forma d>P+P�/P/P+P�/D�, y entonces se la puede interpretar fácilmente. En efecto, siendo P+P� el peso de la aleación, y P/D+P�/D� la suma de los volúmenes de los metales aleados, síguese de aquí que la expresión P+P�/P/D+P�/D� es precisamente el peso específico que tendría la aleación, si no hubiese contracción ni dilatación, según la fórmula D=P/V. Cuando hay contracción, aumenta el peso específico, de modo que ha de ser d>P+P�/P/D+P�/D�.

     Dedúcese de aquí que, cuando hay dilatación, debe ser d<P+P�/P/D+P�/D�; y tal es, en efecto, la condición a que conduce la fórmula [B] del problema IX, si se resuelve con relación a m.

     Si d=(P+P�)DD�/PD�+P�D, la fórmula [C] da m=; y de aquí la fracción 1/m=0; es decir, que no hay contracción ni dilatación.

     XII. -Conociendo el volumen de aire V contenido en el recipiente y en el conducto de una máquina neumática, el volumen v de uno de los cuerpos de bomba, y representando por M masa total del aire del recipiente y del conducto, determínese la masa de aire que quedará en la máquina después de n golpes simples del émbolo, y cuál será su tensión.

     Cuando el émbolo sube desde la parte inferior del cuerpo de bomba a su vértice, el volumen del aire V se hace V+v, siendo siempre su masa M. Como la masa de aire sustraída es proporcional al volumen v, representándola por m se tiene m/M=v/V+v, de donde v

     El aire que queda es, pues, M-Mv/V+v=MV/V+v=M�.

     Se encuentra de la misma manera que la cantidad de aire que se extrae al segundo golpe del émbolo es

al tercero,

al n^ésimo,

     Todo el aire extraído después de n golpes, es por lo tanto,

     Como la parte que hay entre paréntesis no es más que una progresión geométrica decreciente, cuyo primer término es 1 y la razón V/V+v, si se hace uso de la fórmula S=a-lr/1-r que sirve en álgebra para calcular la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente, cuyo primer término es a, l el último y la razón r, se encuentra que la suma de los términos que hay dentro del paréntesis es V+v/v-V/v.V^n-1/(V+v)^n-1.

     La fórmula [A] se trasforma, pues, en

cuyo segundo miembro representa la masa de aire extraída después de n golpes de émbolo: la que queda es, por lo mismo MVⁿ/(V+v)ⁿ.

     Para calcular cuál es entonces la tensión f, que supondremos fue primero de 0m,76, basta observar, según la ley de Mariotte, que la tensión del aire debajo del recipiente es proporcional a su masa, de modo que f/0,76=MVⁿ/(V+v)ⁿ: M, de donde f=76�Vⁿ/(V+v).

     XIII. -�Cuántos golpes u oscilaciones simples de émbolo, n, se requieren para reducir de la presión de 0m,76 a 0m,002, el aire que se encuentra debajo del recipiente de la máquina neumática, valiendo 10 litros el volumen de éste, y 1 el de cada cuerpo de bomba?

     Esta cuestión se resuelve fácilmente por medio de la fórmula f=0m,76�Vⁿ/(V+v)ⁿ del problema XVI, haciendo en ella t= 0,002, V=10, y v=1, lo cual da 2/760=(10/11)ⁿ, o (11/10)ⁿ=380. Tomando los logaritmos de los dos miembros, resulta n�l(11/10)=l. 380; de donde n=l.380/l.11.-l.10=62.

     XIV. -Se tiene un cubo de plomo de 4 centímetros de lado que desea sostenerse en el agua suspendiéndolo de una esfera de corcho. �Qué diámetro debe tener ésta para que su empuje de abajo hacia arriba equilibre el peso del cubo de plomo, sabiéndose que el peso específico de este cuerpo es 11,35, y el del corcho 0,24?

     El volumen del cubo de plomo es 64 centímetros cúbicos, y de consiguiente, su peso en el aire es 61�11,35, y en el agua 61�11,35-64=662gr,40.

     Si se representa por r el radio de la esfera de corcho, en centímetros, su volumen, en centímetros cúbicos, será 4pr³/3; luego su peso en gramos será 4pr³�0,24/3. Ahora bien, siendo evidentemente el peso del agua desalojada por la esfera de corcho, en gramos, 4pr³/3, resulta de aquí un empuje de abajo hacia arriba igual a

     Este empuje debe ser igual al peso del plomo; luego

de donde

r=³ 1987,20/3,04�3,1416=5c,92.

de suerte que el diámetro que se pide es de 11c,84.

     XV. -Se quiere construir una esfera hueca, de cobre, que, introducida en el agua a 4�, se hunda exactamente la mitad: �cuál debe ser la relación del espesor de la pared de la esfera a su radio exterior, siendo éste indeterminado, y valiendo la densidad del cobre 8,788?

     Sea a 4�, R el radio exterior y r el interior: el espesor de las paredes es R-r, y la relación pedida R-r/R.

     Siendo el volumen exterior de la esfera 4pR³/3, y el interior 4pr³/3, el volumen de la pared es 4pR³/3-4pr³/3=4p/3(R³-r³), y su peso=4p/3(R³-r³)�8,788. Por otra parte, siendo el del agua desalojada �.4pR³/3, debe resultar, suprimiendo el factor común, 4p/3.

de donde se deduce R/r=3 17576/16576=1,02.

     Esta última igualdad da sucesivamente

esto es, el espesor de la pared es del radio exterior.

     XVI. -Un cilindro de madera de haya flota horizontalmente sobre el agua (fig. 602): se pidela relación del volumen inmergido con el que sobrenada; sabiendo que el peso específico del haya es 0,852, y el del agua 1.

     Teniendo la misma altura a, los volúmenes cuya relación se busca, sean S y S� los segmentos del círculo que les sirven de base, el primero sumergido y el segundo fuera del agua.

     El volumen sumergido es Sa, el otro S�a, y el total del cilindro (S+S�)a. El peso del cilindro es, pues

y el del agua desalojada Sa; luego, según la condición de equilibrio de los cuerpos flotantes, debemos obtener

     XVII. -Estando dividido un tubo capilar en 180 partes iguales, se encuentra que una columna de mercurio que ocupa 25 de dichas divisiones pesa 1gr,2 a cero grados. Queriendo hacer un termómetro con este tubo, se pide el radio interior del depósito esférico, que se le debe soldar para que sus 180 divisiones comprendan 150 grados centígrados.

     Supuesto que 25 divisiones del tubo contienen 1gr,2 de mercurio, una sola división comprenderá 1gr,2/25, y las 180 divisiones 1,2�180/25=8gr,64. Debiendo comprender estas 180 divisiones 150 grados, es claro que el peso del mercurio correspondiente a un solo grado es 8gr,64/150. Pero como la dilatación correspondiente a un grado no es más que la dilatación aparente del mercurio en el vidrio (273), el peso 8gr,64/150 debe ser 1/6480 del peso del mercurio contenido en el depósito, peso igual a 4pR³�13,596/3, siendo R el radio del depósito, y 13596 el peso específico del mercurio; luego

     XVIII. -�Cuál es el esfuerzo F necesario para sostener una campana llena de mercurio e introducida en el mismo líquido, teniendo 6 centímetros su diámetro interior, y su altura ab (fig. 603), sobre el nivel del baño, 18 centímetros, y sabiendo que la altura del barómetro es 0m,77?

     En el exterior, sostiene esta campana, de arriba hacia abajo, una presión igual al peso de una columna de mercurio que tuviese por base su sección cd, y por altura la del barómetro; de consiguiente, esta presión es igual a

     En el interior, sostiene, de abajo hacia arriba, una presión igual a la atmosférica, menos el peso de una columna de mercurio que tuviese por base su sección, y por altura ab; es decir, que la presión de abajo hacia arriba es igual a

     El esfuerzo necesario para sostener la campana será, pues, igual a la diferencia de estas dos presiones, o a

     Haciendo R=3 centímetros, conforme al enunciado, y efectuando los cálculos en la expresión anterior, resulta F=6kil.,919gr,5.

     XIX. -Al arrojar una piedra en un pozo, el sonido que produce la piedra, al chocar con el agua tarda 3 segundos en percibirse después de soltada aquélla: se pide la profundidad del agua, sabiendo que el sonido recorre 337 metros por segundo.

     Representemos por v la velocidad del sonido, por x la profundidad del pozo hasta el agua, y por T el tiempo que trascurre entre el principio del descenso y la percepción del sonido.

De la fórmula e=1/2gt² (55), se deduce t=2e/g=2x/g;

que es el tiempo que emplea en su descenso la piedra.

     Para averiguar el tiempo que necesita el sonido para llegar al observador, nótese que, siendo v el espacio que recorre por segundo, necesitará para atravesar el espacio x tantos segundos como veces v contenga x, es decir, x/v.

     Por lo tanto, tendremos 2x/g+x/v=T, o 2x/g=T-x/v;

de donde

     Quitando los denominadores y trasponiendo, queda

     Resolviendo,

x=v/ggT+v�v(2gT+v).

     Reemplazando v, g y T por sus valores, se encuentra

x=337/9,819,81�3+337�337(2�9,81�3+337),

de donde resulta:

lo cual da las dos soluciones x=25134km,9 y x=40m,8. La primera es inadmisible, porque representa un espacio mayor que el que recorre el sonido en 3 segundos. Ésta es una solución extraña, debida a la elevación al cuadrado del radical 2x/g en la ecuación del problema. La profundidad del pozo es, pues, de 40m,8.